Giải tích Ví dụ

$y = {(4 x - 3)}^{2} {(4 - x^{5})}^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = {(4 x - 3)}^{2}$ và $g (x) = {(4 - x^{5})}^{4}$ .

${(4 x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{5})}^{4}] + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = 4 - x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 - x^{5}$ .

${(4 x - 3)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [4 - x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [4 - x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 - x^{5}$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [4 - x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Bước 3.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Bước 3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{5}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Bước 3.5

Nhân $- 1$ với $4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 4 {(4 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 4 {(4 - x^{5})}^{3} (5 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Bước 3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $5$ với $- 4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 {(4 - x^{5})}^{3} x^{4}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Bước 3.7.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 20 {(4 - x^{5})}^{3} x^{4}$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Bước 3.7.3

Viết lại ${(4 x - 3)}^{2}$ ở dạng $(4 x - 3) (4 x - 3)$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [(4 x - 3) (4 x - 3)]$

Bước 4

Khai triển $(4 x - 3) (4 x - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 x (4 x - 3) - 3 (4 x - 3)]$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x - 3)]$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Bước 5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Bước 5.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Di chuyển $x$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Bước 5.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Bước 5.1.3

Nhân $4$ với $4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Bước 5.1.4

Nhân $- 3$ với $4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 12 x - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Bước 5.1.5

Nhân $4$ với $- 3$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 12 x - 12 x - 3 \cdot - 3]$

Bước 5.1.6

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 12 x - 12 x + 9]$

Bước 5.2

Trừ $12 x$ khỏi $- 12 x$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 24 x + 9]$

Bước 6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $16 x^{2} - 24 x + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 7

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $16 x^{2}$ đối với $x$ là $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 9

Nhân $2$ với $16$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 10

Vì $- 24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 24 x$ đối với $x$ là $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 12

Nhân $- 24$ với $1$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 13

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 + 0)$

Bước 14

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $32 x - 24$ và $0$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$

Bước 14.2

Đưa ${(4 - x^{5})}^{3}$ ra ngoài ${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Đưa ${(4 - x^{5})}^{3}$ ra ngoài ${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3})$ .

${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$

Bước 14.2.2

Đưa ${(4 - x^{5})}^{3}$ ra ngoài ${(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$ .

${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{3} ((4 - x^{5}) (32 x - 24))$

Bước 14.2.3

Đưa ${(4 - x^{5})}^{3}$ ra ngoài ${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{3} ((4 - x^{5}) (32 x - 24))$ .

${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4}) + (4 - x^{5}) (32 x - 24))$