Giải tích Ví dụ

$\sum_{x = 1}^{4} {(x - 1)}^{2} + {(x + 1)}^{3}$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại ${(x - 1)}^{2}$ ở dạng $(x - 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

Bước 1.1.2

Khai triển $(x - 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

Bước 1.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

Bước 1.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Bước 1.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Bước 1.1.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Bước 1.1.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Bước 1.1.3.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Bước 1.1.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 + {(x + 1)}^{3}$

Bước 1.1.3.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + {(x + 1)}^{3}$

Bước 1.1.4

Sử dụng định lý nhị thức.

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Bước 1.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Nhân $3$ với $1$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Bước 1.1.5.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}$

Bước 1.1.5.3

Nhân $3$ với $1$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}$

Bước 1.1.5.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

Bước 1.2

Cộng $x^{2}$ và $3 x^{2}$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x + 1$

Bước 1.3

Cộng $- 2 x$ và $3 x$ .

$4 x^{2} + x + 1 + x^{3} + 1$

Bước 1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$4 x^{2} + x + x^{3} + 2$

Bước 1.5

Viết lại tổng.

$\sum_{x = 1}^{4} 4 x^{2} + x + x^{3} + 2$

Bước 2

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $x$ .

$4 \cdot 1^{2} + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nâng $1$ lên lũy thừa $2$ .

$4 \cdot 1 + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.2

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.3

Cộng $4$ và $1$ .

$5 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.4

Nâng $1$ lên lũy thừa $3$ .

$5 + 1 + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.5

Cộng $5$ và $1$ .

$6 + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.6

Cộng $6$ và $2$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.8

Nhân $4$ với $4$ .

$8 + 16 + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.9

Cộng $16$ và $2$ .

$8 + 18 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$8 + 18 + 8 + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.11

Cộng $18$ và $8$ .

$8 + 26 + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.12

Cộng $26$ và $2$ .

$8 + 28 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.13

Cộng $8$ và $28$ .

$36 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.14

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$36 + 4 \cdot 9 + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.15

Nhân $4$ với $9$ .

$36 + 36 + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.16

Cộng $36$ và $3$ .

$36 + 39 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.17

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$36 + 39 + 27 + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.18

Cộng $39$ và $27$ .

$36 + 66 + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.19

Cộng $66$ và $2$ .

$36 + 68 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.20

Cộng $36$ và $68$ .

$104 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.21

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$104 + 4 \cdot 16 + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.22

Nhân $4$ với $16$ .

$104 + 64 + 4 + 4^{3} + 2$

Bước 3.23

Cộng $64$ và $4$ .

$104 + 68 + 4^{3} + 2$

Bước 3.24

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$104 + 68 + 64 + 2$

Bước 3.25

Cộng $68$ và $64$ .

$104 + 132 + 2$

Bước 3.26

Cộng $132$ và $2$ .

$104 + 134$

Bước 3.27

Cộng $104$ và $134$ .

$238$