Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

Bước 2

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Bước 2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- t})$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $e^{u}$ tại $- t$ và tại $0$ .

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- t}) - e^{0})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1)$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Bước 6.1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 6.2

Vì số mũ $- t$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{- t}$ tiến dần đến $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 6.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- (0 - 1 \cdot 1)$

Bước 6.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- (0 - 1)$

Bước 6.3.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- - 1$

Bước 6.3.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1$