Giải tích Ví dụ

$2 t e^{2 t}$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int t e^{2 t} d t$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = e^{2 t}$ .

$2 (t (\frac{1}{2} e^{2 t}) - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 t}$ .

$2 (t \frac{e^{2 t}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Bước 3.2

Kết hợp $t$ và $\frac{e^{2 t}}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 t}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \int \frac{e^{2 t}}{2} d t)$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 t} d t))$

Bước 5

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Bước 6

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Bước 8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Bước 9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Bước 10

Viết lại $2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ ở dạng $2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t$ .

$2 (\frac{t}{2} e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Bước 12.1.2

Kết hợp $\frac{t}{2}$ và $e^{2 t}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Bước 12.1.3

Kết hợp $e^{2 t}$ và $\frac{1}{4}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \frac{t e^{2 t}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Bước 12.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{t e^{2 t}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Bước 12.3.2

Viết lại biểu thức.

$t e^{2 t} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Bước 12.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{2 t}}{4}$ vào tử số.

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{4} + C$

Bước 12.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{2 (2)} + C$

Bước 12.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{2 \cdot 2} + C$

Bước 12.4.4

Viết lại biểu thức.

$t e^{2 t} + \frac{- e^{2 t}}{2} + C$

Bước 12.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$t e^{2 t} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Bước 12.6

Để viết $t e^{2 t}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$t e^{2 t} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Bước 12.7

Kết hợp $t e^{2 t}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t e^{2 t} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Bước 12.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{t e^{2 t} \cdot 2 - e^{2 t}}{2} + C$

Bước 12.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.9.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t e^{2 t}$ .

$\frac{2 \cdot (t e^{2 t}) - e^{2 t}}{2} + C$

Bước 12.9.2

Đưa $e^{2 t}$ ra ngoài $2 t e^{2 t} - e^{2 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.9.2.1

Đưa $e^{2 t}$ ra ngoài $2 t e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} (2 t) - e^{2 t}}{2} + C$

Bước 12.9.2.2

Đưa $e^{2 t}$ ra ngoài $- e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} (2 t) + e^{2 t} \cdot - 1}{2} + C$

Bước 12.9.2.3

Đưa $e^{2 t}$ ra ngoài $e^{2 t} (2 t) + e^{2 t} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{2 t} (2 t - 1)}{2} + C$

$\frac{1}{2} e^{2 t} (2 t - 1) + C$