Giải tích Ví dụ

$\cos (x) (\sec (x) - \cos (x))$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \cos (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 1.2

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sắp xếp lại $\cos (x)$ và $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 1.2.2

Viết lại $\cos (x) \sec (x)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\int 1 + \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\int 1 - \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 1.4

Nhân $- \cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 1 - (\cos^{1} (x) \cos (x)) d x$

Bước 1.4.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 1 - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) d x$

Bước 1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 1 - {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Bước 1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 1 - \cos^{2} (x) d x$

Bước 1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sin^{2} (x) d x$

Bước 2

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Bước 7

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 8

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Bước 10

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 11

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\sin (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 13.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 13.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 13.4

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 13.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$