Giải tích Ví dụ

$6 x e^{3 x}$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int x e^{3 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{3 x}$ .

$6 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$6 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Bước 3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Bước 5

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 5.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Bước 6

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Bước 8.2

Nhân $3$ với $3$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Bước 9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Bước 10

Viết lại $6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ ở dạng $6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x$ .

$6 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Bước 12.1.2

Kết hợp $\frac{x}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Bước 12.1.3

Kết hợp $e^{3 x}$ và $\frac{1}{9}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Bước 12.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$3 (2) \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Bước 12.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \cdot 2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Bước 12.3.3

Viết lại biểu thức.

$2 (x e^{3 x}) + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Bước 12.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{3 x}}{9}$ vào tử số.

$2 (x e^{3 x}) + 6 \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

Bước 12.4.2

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$2 (x e^{3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

Bước 12.4.3

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

Bước 12.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

Bước 12.4.5

Viết lại biểu thức.

$2 (x e^{3 x}) + 2 \frac{- e^{3 x}}{3} + C$

Bước 12.5

Kết hợp $2$ và $\frac{- e^{3 x}}{3}$ .

$2 (x e^{3 x}) + \frac{2 (- e^{3 x})}{3} + C$

Bước 12.6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 (x e^{3 x}) + \frac{- 2 e^{3 x}}{3} + C$

Bước 12.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Bước 12.8

Để viết $2 x e^{3 x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Bước 12.9

Kết hợp $2 x e^{3 x}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Bước 12.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + C$

Bước 12.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.11.1

Đưa $2 e^{3 x}$ ra ngoài $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.11.1.1

Đưa $2 e^{3 x}$ ra ngoài $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + C$

Bước 12.11.1.2

Đưa $2 e^{3 x}$ ra ngoài $- 2 e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + C$

Bước 12.11.1.3

Đưa $2 e^{3 x}$ ra ngoài $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ .

$\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + C$

Bước 12.11.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C$

$\frac{2}{3} e^{3 x} (3 x - 1) + C$