Giải tích Ví dụ

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) = \tan (θ) \sin^{2} (θ)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\cot (θ)$ theo sin và cosin.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $\tan (θ)$ theo sin và cosin.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} ({(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - \sin^{2} (θ))$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \sin^{2} (θ))$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \sin^{2} (θ))$

Bước 2.4

Kết hợp.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \sin^{2} (θ))$

Bước 2.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Bước 2.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung của $\cos (θ)$ và $\cos^{2} (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Đưa $\cos (θ)$ ra ngoài $\cos (θ) \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) (\sin^{2} (θ))}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Bước 2.6.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.2.1

Đưa $\cos (θ)$ ra ngoài $\sin (θ) \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) (\sin^{2} (θ))}{\cos (θ) (\sin (θ) \cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Bước 2.6.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (\sin (θ) \cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Bước 2.6.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Bước 2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $\sin^{2} (θ)$ và $\sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Đưa $\sin (θ)$ ra ngoài $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Bước 2.6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1

Đưa $\sin (θ)$ ra ngoài $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Bước 2.6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Bước 2.6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Bước 2.6.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ vào tử số.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Bước 2.6.3.2

Đưa $\sin (θ)$ ra ngoài $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \sin (θ))$

Bước 2.6.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \sin (θ))$

Bước 2.6.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \cos (θ) \sin (θ)$

Bước 3

Viết $- \cos (θ) \sin (θ)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$

Bước 4

Cộng các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để viết $\frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$ với $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Bước 4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Bước 5

Nhân $- \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) - \cos^{2} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Bước 6

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$\frac{\sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Đưa $\sin (θ)$ ra ngoài $\sin (θ) - (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Nhân với $1$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 - (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Bước 7.1.1.2

Đưa $\sin (θ)$ ra ngoài $- (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- (1 - {\sin (θ)}^{2}))}{\cos (θ)}$

Bước 7.1.1.3

Đưa $\sin (θ)$ ra ngoài $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- (1 - {\sin (θ)}^{2}))$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - (1 - {\sin (θ)}^{2}))}{\cos (θ)}$

Bước 7.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 \cdot 1 - - {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Bước 7.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 - - {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Bước 7.1.4

Nhân $- - {\sin (θ)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 + 1 {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Bước 7.1.4.2

Nhân ${\sin (θ)}^{2}$ với $1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 + {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Bước 7.1.5

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{\sin (θ) (0 + {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Bước 7.1.6

Cộng $0$ và ${\sin (θ)}^{2}$ .

$\frac{\sin (θ) {\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}$

Bước 7.2

Nhân $\sin (θ)$ với ${\sin (θ)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

$\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos (θ)}$

Bước 8

Viết lại $\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos (θ)}$ ở dạng $\tan (θ) \sin^{2} (θ)$ .

$\tan (θ) \sin^{2} (θ)$

Bước 9

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) = \tan (θ) \sin^{2} (θ)$ là một đẳng thức