Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ , $g (x) = 3 x^{2} - 1$

Bước 1

Lập hàm hợp.

$f (g (x))$

Bước 2

Tính $f (3 x^{2} - 1)$ bằng cách thay giá trị của $g$ vào $f$ .

$f (3 x^{2} - 1) = {(3 x^{2} - 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$f (3 x^{2} - 1) = {(3 x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x^{2}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 3^{3} {(x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 {(x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{2 \cdot 3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 3 {(3 x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x^{2}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 3 (3^{2} {(x^{2})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.5

Nhân $3$ với $3^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Di chuyển $3^{2}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 3^{2} \cdot (3 {(x^{2})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.5.2

Nhân $3^{2}$ với $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 3^{2} \cdot (3 {(x^{2})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 3^{2 + 1} {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.5.3

Cộng $2$ và $1$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 3^{3} {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 27 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.7

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 27 x^{2 \cdot 2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 27 x^{4} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.8

Nhân $- 1$ với $27$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.9

Nhân $3$ với $3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.10

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.11

Nhân $9$ với $1$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.2.12

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 3.3

Viết lại ${(3 x^{2} - 1)}^{2}$ ở dạng $(3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1)$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 ((3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1))$

Bước 3.4

Khai triển $(3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (3 x^{2} (3 x^{2} - 1) - 1 (3 x^{2} - 1))$

Bước 3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2} - 1))$

Bước 3.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Bước 3.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (3 \cdot (3 x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Bước 3.5.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (3 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Bước 3.5.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (3 \cdot (3 x^{2 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Bước 3.5.1.2.3

Cộng $2$ và $2$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (3 \cdot (3 x^{4}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Bước 3.5.1.3

Nhân $3$ với $3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Bước 3.5.1.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (9 x^{4} - 3 x^{2} - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Bước 3.5.1.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (9 x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Bước 3.5.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (9 x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 1)$

Bước 3.5.2

Trừ $3 x^{2}$ khỏi $- 3 x^{2}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (9 x^{4} - 6 x^{2} + 1)$

Bước 3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (9 x^{4}) - 3 (- 6 x^{2}) - 3 \cdot 1$

Bước 3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $9$ với $- 3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 27 x^{4} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 \cdot 1$

Bước 3.7.2

Nhân $- 6$ với $- 3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 27 x^{4} + 18 x^{2} - 3 \cdot 1$

Bước 3.7.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 27 x^{4} + 18 x^{2} - 3$

Bước 4

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $27 x^{4}$ khỏi $- 27 x^{4}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 54 x^{4} + 9 x^{2} - 1 + 18 x^{2} - 3$

Bước 4.2

Cộng $9 x^{2}$ và $18 x^{2}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 54 x^{4} + 27 x^{2} - 1 - 3$

Bước 4.3

Trừ $3$ khỏi $- 1$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 54 x^{4} + 27 x^{2} - 4$