Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2 x} \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} d t$

Bước 1

Lấy đạo hàm của $\int_{1}^{2 x} \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} d t$ đối với $x$ bằng định lý cơ bản của giải tích và quy tắc chuỗi.

$\frac{d}{d x} [2 x] \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Bước 2.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$2 \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Bước 2.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$2 \frac{{(2 (x))}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Bước 2.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$2 \frac{2^{2} x^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Bước 2.3.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Bước 2.3.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{{(2 (x))}^{2} + 1}$

Bước 2.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{2^{2} x^{2} + 1}$

Bước 2.3.5.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$

Bước 2.3.6

Kết hợp $2$ và $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 (4 x^{2})}{4 x^{2} + 1}$

Bước 2.3.7

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{8 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$