Giải tích Ví dụ

$\int_{x}^{x^{2}} t^{2} d t$

Bước 1

Chia tích phân này thành hai tích phân trong đó $c$ là một giá trị nào đó nằm giữa $x$ và $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t + \int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\int_{x}^{c} t^{2} d t + \int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Bước 3

Hóa n đổi vị trí các biên của tích phân.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Bước 4

Lấy đạo hàm của $- \int_{c}^{x} t^{2} d t$ đối với $x$ bằng định lý cơ bản của giải tích.

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Bước 5

Lấy đạo hàm của $\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t$ đối với $x$ bằng định lý cơ bản của giải tích và quy tắc chuỗi.

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] {(x^{2})}^{2}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- x^{2} + 2 x {(x^{2})}^{2}$

Bước 6.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2} + 2 x \cdot x^{2 \cdot 2}$

Bước 6.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- x^{2} + 2 x \cdot x^{4}$

Bước 7

Nhân $x$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$- x^{2} + 2 (x^{4} x)$

Bước 7.2

Nhân $x^{4}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- x^{2} + 2 (x^{4} x^{1})$

Bước 7.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- x^{2} + 2 x^{4 + 1}$

Bước 7.3

Cộng $4$ và $1$ .

$- x^{2} + 2 x^{5}$

Bước 8

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x^{5} - x^{2}$