Giải tích Ví dụ

$\int_{- x}^{x} (t^{2} + t) d t$

Bước 1

Chia tích phân này thành hai tích phân trong đó $c$ là một giá trị nào đó nằm giữa $- x$ và $x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t + \int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t + \int_{c}^{x} t^{2} + t d t$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Bước 3

Hóa n đổi vị trí các biên của tích phân.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- x} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Bước 4

Lấy đạo hàm của $- \int_{c}^{- x} t^{2} + t d t$ đối với $x$ bằng định lý cơ bản của giải tích và quy tắc chuỗi.

$\frac{d}{d x} [- x] (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Bước 5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- - ({(- x)}^{2} - x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Bước 6

Lấy đạo hàm của $\int_{c}^{x} t^{2} + t d t$ đối với $x$ bằng định lý cơ bản của giải tích.

$- - ({(- x)}^{2} - x) + x^{2} + x$

Bước 7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$- - ({(- (x))}^{2} - x) + x^{2} + x$

Bước 7.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- (x)$ .

$- - ({(- 1)}^{2} x^{2} - x) + x^{2} + x$

Bước 7.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- - (1 x^{2} - x) + x^{2} + x$

Bước 7.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$- - (x^{2} - x) + x^{2} + x$

Bước 7.2.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (x^{2} - x) + x^{2} + x$

Bước 7.2.5

Nhân $x^{2} - x$ với $1$ .

$x^{2} - x + x^{2} + x$

Bước 7.3

Cộng $x^{2}$ và $x^{2}$ .

$2 x^{2} - x + x$

Bước 7.4

Cộng $- x$ và $x$ .

$2 x^{2} + 0$

Bước 7.5

Cộng $2 x^{2}$ và $0$ .

$2 x^{2}$