Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

Bước 1

Viết $y = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{x} + \sqrt{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 2.1.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 2.1.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.1.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.1.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 2.1.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Bước 2.1.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.1.4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.4.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.6.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.10

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.11

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.12

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $0$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2.13

Cộng $2 x^{- 3}$ và $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 2.2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 2.2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 2.2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 2.2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 2.2.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 2.2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 2.2.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 2.2.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 2.2.3.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Bước 2.2.3.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 2.2.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 2.2.3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Bước 2.2.3.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Bước 2.2.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Bước 2.2.3.11

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 2.2.3.12

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Bước 2.2.3.13

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.13.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Bước 2.2.3.13.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Bước 2.2.3.13.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Bước 2.2.3.13.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Bước 2.2.3.13.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.13.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Bước 2.2.3.13.5.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Bước 2.2.3.13.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Bước 2.2.3.14

Di chuyển $x^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Bước 2.2.3.15

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$2 x^{- 3} - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Bước 2.2.3.16

Nhân $2$ với $2$ .

$2 x^{- 3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.2.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 3.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$

Bước 3.2.2

Vì $x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$ chứa cả số và biến nên cần thực hiện hai bước để tìm BCNN. Tìm BCNN cho phần số $1, 4, 1$ sau đó tìm BCNN cho phần biến $x^{3}, x^{\frac{3}{2}}$ .

Bước 3.2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 3.2.4

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 3.2.5

$4$ có các thừa số là $2$ và $2$ .

$2 \cdot 2$

Bước 3.2.6

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 3.2.7

BCNN của $1, 4, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$2 \cdot 2$

Bước 3.2.8

Nhân $2$ với $2$ .

$4$

Bước 3.2.9

BCNN của $x^{3}, x^{\frac{3}{2}}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x^{3}$

Bước 3.2.10

BCNN cho $x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$ là phần số $4$ nhân với phần biến.

$4 x^{3}$

Bước 3.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ với $4 x^{3}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ với $4 x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (4 x^{3}) - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 \frac{2}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Bước 3.3.2.1.2

Nhân $4 \frac{2}{x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Bước 3.3.2.1.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Bước 3.3.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Bước 3.3.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$8 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Bước 3.3.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ vào tử số.

$8 + \frac{- 1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Bước 3.3.2.1.4.2

Đưa $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ ra ngoài $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (1)} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Bước 3.3.2.1.4.3

Đưa $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (1)} (x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (x^{\frac{3}{2}})) = 0 (4 x^{3})$

Bước 3.3.2.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 \cdot 1} (x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 x^{\frac{3}{2}}) = 0 (4 x^{3})$

Bước 3.3.2.1.4.5

Viết lại biểu thức.

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0 (4 x^{3})$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $0 (4 x^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Nhân $4$ với $0$ .

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0 x^{3}$

Bước 3.3.3.1.2

Nhân $0$ với $x^{3}$ .

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0$

Bước 3.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{\frac{3}{2}} = - 8$

Bước 3.4.2

Lấy mũ lũy thừa $\frac{2}{3}$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(- x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Rút gọn ${(- x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3.1.1.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3.1.1.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3.1.1.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1.3.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3.1.1.3.2

Nhân ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ với $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3.1.1.3.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1.3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3.1.1.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3.1.1.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3.1.1.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1.3.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3.1.1.3.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3.1.1.4

Rút gọn.

$x = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1

Rút gọn ${(- 8)}^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1.1.1

Viết lại $- 8$ ở dạng ${(- 2)}^{3}$ .

$x = {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.4.3.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Bước 3.4.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Bước 3.4.3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x = {(- 2)}^{2}$

Bước 3.4.3.2.1.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = 4$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $4$ trong $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f (4) = \frac{1}{4} + \sqrt{4}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + \sqrt{2^{2}}$

Bước 4.1.2.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (4) = \frac{1}{4} + 2$

Bước 4.1.2.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Bước 4.1.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Bước 4.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (4) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

Bước 4.1.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.5.1

Nhân $2$ với $4$ .

$f (4) = \frac{1 + 8}{4}$

Bước 4.1.2.5.2

Cộng $1$ và $8$ .

$f (4) = \frac{9}{4}$

Bước 4.1.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $4$ trong $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ là $(4, \frac{9}{4})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(4, \frac{9}{4})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 4)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $3.9$ trong biểu thức.

$f'' (3.9) = \frac{2}{{(3.9)}^{3}} - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $3.9$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (3.9) = \frac{2}{59.319} - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 6.2.1.2

Chia $2$ cho $59.319$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 6.2.1.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1

Viết lại $3.9$ ở dạng ${1.97484176}^{2}$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {({1.97484176}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 6.2.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Bước 6.2.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Bước 6.2.1.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{3}}$

Bước 6.2.1.3.4

Nâng $1.97484176$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot 7.70188288}$

Bước 6.2.1.4

Nhân $4$ với $7.70188288$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{30.80753154}$

Bước 6.2.1.5

Chia $1$ cho $30.80753154$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - 1 \cdot 0.03245959$

Bước 6.2.1.6

Nhân $- 1$ với $0.03245959$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - 0.03245959$

Bước 6.2.2

Trừ $0.03245959$ khỏi $0.03371601$ .

$f'' (3.9) = 0.00125641$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0.00125641$ .

$0.00125641$

Bước 6.3

Tại $3.9$ , đạo hàm bậc hai là $0.00125641$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \infty, 4)$ .

Tăng trên $(- \infty, 4)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(4, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $4.1$ trong biểu thức.

$f'' (4.1) = \frac{2}{{(4.1)}^{3}} - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $4.1$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (4.1) = \frac{2}{68.921} - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $2$ cho $68.921$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2.1.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.3.1

Viết lại $4.1$ ở dạng ${2.02484567}^{2}$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {({2.02484567}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Bước 7.2.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Bước 7.2.1.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{3}}$

Bước 7.2.1.3.4

Nâng $2.02484567$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot 8.30186725}$

Bước 7.2.1.4

Nhân $4$ với $8.30186725$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{33.20746903}$

Bước 7.2.1.5

Chia $1$ cho $33.20746903$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - 1 \cdot 0.0301137$

Bước 7.2.1.6

Nhân $- 1$ với $0.0301137$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - 0.0301137$

Bước 7.2.2

Trừ $0.0301137$ khỏi $0.02901873$ .

$f'' (4.1) = - 0.00109497$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.00109497$ .

$- 0.00109497$

Bước 7.3

Tại $4.1$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.00109497$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(4, \infty)$

Giảm trên $(4, \infty)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 8

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(4, \frac{9}{4})$ .

$(4, \frac{9}{4})$

Bước 9