Giải tích Ví dụ

$\frac{x + 3}{x^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{x + 3}{x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + 3$ và $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.1.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.1.2.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.1.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.1.2.5.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 3) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 2.1.2.7

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.7.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 3) x}{x^{4}}$

Bước 2.1.2.7.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} - 2 (x + 3) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.7.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 3) x}{x^{4}}$

Bước 2.1.2.7.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 (x + 3) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 3))}{x^{4}}$

Bước 2.1.2.7.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x (- 2 (x + 3))$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x^{4}}$

Bước 2.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x - 2 (x + 3)}{x^{3}}$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 3}{x^{3}}$

Bước 2.1.4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{x - 2 x - 6}{x^{3}}$

Bước 2.1.4.2.2

Trừ $2 x$ khỏi $x$ .

$\frac{- x - 6}{x^{3}}$

Bước 2.1.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{- (x) - 6}{x^{3}}$

Bước 2.1.4.4

Viết lại $- 6$ ở dạng $- 1 (6)$ .

$\frac{- (x) - 1 (6)}{x^{3}}$

Bước 2.1.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (6)$ .

$\frac{- (x + 6)}{x^{3}}$

Bước 2.1.4.6

Viết lại $- (x + 6)$ ở dạng $- 1 (x + 6)$ .

$\frac{- 1 (x + 6)}{x^{3}}$

Bước 2.1.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{x + 6}{x^{3}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{x + 6}{x^{3}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x^{3}}] + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.2

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{x^{3} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.4

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{x^{3} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.5.2

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$- \frac{x^{3} - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- \frac{x^{3} - (x + 6) (3 x^{2})}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.7

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.7.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- \frac{x^{3} - 3 (x + 6) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.7.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3} - 3 (x + 6) x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.7.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$- \frac{x^{2} x - 3 (x + 6) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.7.2.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 3 (x + 6) x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 (x + 6))}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.7.2.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x + x^{2} (- 3 (x + 6))$ .

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{6}$ .

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \cdot 0$

Bước 2.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Nhân $\frac{x + 6}{x^{3}}$ với $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + 0$

Bước 2.2.6.2

Cộng $- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}}$ và $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}}$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{x - 3 x - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Bước 2.2.7.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.2.1

Nhân $- 3$ với $6$ .

$- \frac{x - 3 x - 18}{x^{4}}$

Bước 2.2.7.2.2

Trừ $3 x$ khỏi $x$ .

$- \frac{- 2 x - 18}{x^{4}}$

Bước 2.2.7.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x - 18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$- \frac{2 (- x) - 18}{x^{4}}$

Bước 2.2.7.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 18$ .

$- \frac{2 (- x) + 2 (- 9)}{x^{4}}$

Bước 2.2.7.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x) + 2 (- 9)$ .

$- \frac{2 (- x - 9)}{x^{4}}$

Bước 2.2.7.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$- \frac{2 (- (x) - 9)}{x^{4}}$

Bước 2.2.7.5

Viết lại $- 9$ ở dạng $- 1 (9)$ .

$- \frac{2 (- (x) - 1 (9))}{x^{4}}$

Bước 2.2.7.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (9)$ .

$- \frac{2 (- (x + 9))}{x^{4}}$

Bước 2.2.7.7

Viết lại $- (x + 9)$ ở dạng $- 1 (x + 9)$ .

$- \frac{2 (- 1 (x + 9))}{x^{4}}$

Bước 2.2.7.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Bước 2.2.7.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Bước 2.2.7.10

Nhân $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$2 (x + 9) = 0$

Bước 3.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (x + 9) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (x + 9) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.3.1.2.1.2

Chia $x + 9$ cho $1$ .

$x + 9 = \frac{0}{2}$

Bước 3.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x + 9 = 0$

Bước 3.3.2

Trừ $9$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 9$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $- 9$ trong $f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 9$ trong biểu thức.

$f (- 9) = \frac{(- 9) + 3}{{(- 9)}^{2}}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Cộng $- 9$ và $3$ .

$f (- 9) = \frac{- 6}{{(- 9)}^{2}}$

Bước 4.1.2.1.2

Nâng $- 9$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 9) = \frac{- 6}{81}$

Bước 4.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $81$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$f (- 9) = \frac{3 (- 2)}{81}$

Bước 4.1.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $81$ .

$f (- 9) = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 27}$

Bước 4.1.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- 9) = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 27}$

Bước 4.1.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (- 9) = \frac{- 2}{27}$

Bước 4.1.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- 9) = - \frac{2}{27}$

Bước 4.1.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{2}{27}$ .

$- \frac{2}{27}$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $- 9$ trong $f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$ là $(- 9, - \frac{2}{27})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- 9, - \frac{2}{27})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 9)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 9.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 9.1) = \frac{2 ((- 9.1) + 9)}{{(- 9.1)}^{4}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Cộng $- 9.1$ và $9$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{2 \cdot - 0.1}{{(- 9.1)}^{4}}$

Bước 6.2.2

Nâng $- 9.1$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{2 \cdot - 0.1}{6857.4961}$

Bước 6.2.3

Nhân $2$ với $- 0.1$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{- 0.2}{6857.4961}$

Bước 6.2.4

Chia $- 0.2$ cho $6857.4961$ .

$f'' (- 9.1) = - 0.00002916$

Bước 6.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.00002916$ .

$- 0.00002916$

Bước 6.3

Tại $- 9.1$ , đạo hàm bậc hai là $- 2.91651642 E - 5$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, - 9)$

Giảm trên $(- \infty, - 9)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 9, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 8.9$ trong biểu thức.

$f'' (- 8.9) = \frac{2 ((- 8.9) + 9)}{{(- 8.9)}^{4}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $- 8.9$ và $9$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{2 \cdot 0.1}{{(- 8.9)}^{4}}$

Bước 7.2.2

Nâng $- 8.9$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{2 \cdot 0.1}{6274.2241}$

Bước 7.2.3

Nhân $2$ với $0.1$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{0.2}{6274.2241}$

Bước 7.2.4

Chia $0.2$ cho $6274.2241$ .

$f'' (- 8.9) = 0.00003187$

Bước 7.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $0.00003187$ .

$0.00003187$

Bước 7.3

Tại $- 8.9$ , đạo hàm bậc hai là $3.18764514 E - 5$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- 9, \infty)$ .

Tăng trên $(- 9, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(- 9, - \frac{2}{27})$ .

$(- 9, - \frac{2}{27})$

Bước 9