Giải tích Ví dụ

$(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$

Bước 1

Viết $(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = (- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp ${(x - 2)}^{\frac{8}{3}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.2

Vì $- \frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{8}{3}}$ và $g (x) = x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{8}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {u_{1}}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.6

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.10.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.10.2

Trừ $3$ khỏi $8$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.11

Cộng $1$ và $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.12

Kết hợp $\frac{8}{3}$ và ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.13

Nhân $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ với $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.14

Nhân $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ với $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.15

Nhân $3$ với $4$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.16

Đưa $4$ ra ngoài $8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.17

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.17.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 (3)} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.17.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2.17.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ và $g (x) = x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Bước 2.3.5

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Bước 2.3.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Bước 2.3.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Bước 2.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Bước 2.3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Bước 2.3.9.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Bước 2.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Bước 2.3.11

Cộng $1$ và $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

Bước 2.3.12

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

Bước 2.3.13

Nhân $\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ với $1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 2.3.14

Di chuyển ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.3.15

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.3.16

Nhân $4$ với $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Để viết $- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.1.2

Nhân $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ với $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.1.4

Nhân ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ với ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.4.1

Di chuyển ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.1.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.1.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1 + 5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.1.4.4

Cộng $1$ và $5$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{6}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.1.4.5

Chia $6$ cho $3$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 {(x - 2)}^{2} + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.2.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.2.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.2.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 2^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.2.3

Sắp xếp lại $- {(x - 2)}^{2}$ và $2^{2}$ .

$\frac{2 (2^{2} - {(x - 2)}^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.2.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2$ và $b = x - 2$ .

$\frac{2 ((2 + x - 2) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.5.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{2 ((x + 0) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.2.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{2 (x (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.2.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (x (2 - x - - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.2.5.4

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{2 (x (2 - x + 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.2.5.5

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{2 (x (- x + 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{2 x (- x + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.4

Viết lại $4$ ở dạng $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.6

Viết lại $- (x - 4)$ ở dạng $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- \frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2 x (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ đối với $x$ là $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x (x - 4)$ và $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Bước 3.3

Nhân các số mũ trong ${({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Bước 3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x - 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.5.3

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.5.4.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.5.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + (x - 4) \cdot 1) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.5.6

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1

Nhân $x - 4$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + x - 4) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.5.6.2

Cộng $x$ và $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.10.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.11.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.11.3

Di chuyển ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.11.4

Kết hợp $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ và $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.12

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.14

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.15

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.15.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.15.3

Nhân $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ với $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4)) \cdot 2}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}$

Bước 3.15.4

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.4.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}$

Bước 3.15.4.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4))$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 4 - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 4 - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.4

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.6

Nhân $- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.2.6.1

Kết hợp $x$ và $\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x \cdot x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.6.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

Bước 3.16.2.6.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

Bước 3.16.2.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{1 + 1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.7

Nhân $- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.2.7.1

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 4 (\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.7.2

Kết hợp $4$ và $\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.8

Trừ $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ khỏi $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.2.8.1

Di chuyển ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.8.2

Để viết $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.8.3

Kết hợp $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.8.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.9

Để viết $- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.10

Kết hợp $- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.2.13.1

Nhân ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ với ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.2.13.1.1

Di chuyển ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.1.4

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.1.5

Chia $3$ cho $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x (x - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.2

Rút gọn $2 x {(x - 2)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x (x - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.2.13.4.1

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x^{2} + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.5

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x^{2} - 4 x) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x^{2} \cdot 3 - 4 x \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.7

Nhân $3$ với $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 4 x \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.8

Nhân $3$ với $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.9

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.10

Nhân ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ với ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.2.13.10.1

Di chuyển ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.10.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.10.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.10.4

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.10.5

Chia $3$ cho $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 (x - 2)) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.11

Rút gọn $- 4 \cdot 3 {(x - 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 (x - 2)) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.12

Nhân $- 4$ với $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 (x - 2) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.13

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 x - 12 \cdot - 2 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.13.14

Nhân $- 12$ với $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.14

Trừ $x^{2}$ khỏi $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 12 x - 12 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.15

Trừ $12 x$ khỏi $- 12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 24 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.2.16

Cộng $- 24 x$ và $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 20 x + 24}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{5 x^{2} - 20 x + 24}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.3.2

Viết lại $\frac{\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ ở dạng một tích.

$f'' (x) = - (\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.16.3.3

Nhân $\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ với $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}$

Bước 3.16.3.4

Nhân $3$ với $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.3.5

Nhân ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ với ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.5.1

Di chuyển ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}$

Bước 3.16.3.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Bước 3.16.3.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Bước 3.16.3.5.4

Cộng $2$ và $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Bước 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

$\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Kết hợp ${(x - 2)}^{\frac{8}{3}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.2

Vì $- \frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{8}{3}}$ và $g (x) = x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{8}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {u_{1}}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.6

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.10.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.10.2

Trừ $3$ khỏi $8$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.11

Cộng $1$ và $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.12

Kết hợp $\frac{8}{3}$ và ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.13

Nhân $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ với $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.14

Nhân $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ với $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.15

Nhân $3$ với $4$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.16

Đưa $4$ ra ngoài $8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.17

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.17.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 (3)} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.17.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.2.17.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ và $g (x) = x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 5.1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 5.1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 5.1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Bước 5.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Bước 5.1.3.5

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Bước 5.1.3.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Bước 5.1.3.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Bước 5.1.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Bước 5.1.3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Bước 5.1.3.9.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Bước 5.1.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Bước 5.1.3.11

Cộng $1$ và $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

Bước 5.1.3.12

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

Bước 5.1.3.13

Nhân $\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ với $1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 5.1.3.14

Di chuyển ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.3.15

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.3.16

Nhân $4$ với $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1.1

Để viết $- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.1.2

Nhân $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ với $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.1.4

Nhân ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ với ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1.4.1

Di chuyển ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.1.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.1.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1 + 5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.1.4.4

Cộng $1$ và $5$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{6}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.1.4.5

Chia $6$ cho $3$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 {(x - 2)}^{2} + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.2.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.2.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.2.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 2^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.2.3

Sắp xếp lại $- {(x - 2)}^{2}$ và $2^{2}$ .

$\frac{2 (2^{2} - {(x - 2)}^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.2.4

$\frac{2 ((2 + x - 2) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.2.5.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{2 ((x + 0) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.2.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{2 (x (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.2.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (x (2 - x - - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.2.5.4

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{2 (x (2 - x + 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.2.5.5

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{2 (x (- x + 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{2 x (- x + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.4

Viết lại $4$ ở dạng $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.6

Viết lại $- (x - 4)$ ở dạng $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.1.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Bước 6.2

Cho tử bằng không.

$2 x (x - 4) = 0$

Bước 6.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Bước 6.3.2

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 6.3.3

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 6.3.3.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 6.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 x (x - 4) = 0$ đúng.

$x = 0, 4$

Bước 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{1}}}$

Bước 7.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{x - 2}}$

Bước 7.2

Đặt mẫu số trong $\frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{x - 2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$3 \sqrt[3]{x - 2} = 0$

Bước 7.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${(3 \sqrt[3]{x - 2})}^{3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x - 2}$ ở dạng ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1

Rút gọn ${(3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$27 {(x - 2)}^{1} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2.1.4

Rút gọn.

$27 (x - 2) = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$27 x + 27 \cdot - 2 = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2.1.6

Nhân $27$ với $- 2$ .

$27 x - 54 = 0^{3}$

Bước 7.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$27 x - 54 = 0$

Bước 7.3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Cộng $54$ cho cả hai vế của phương trình.

$27 x = 54$

Bước 7.3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $27 x = 54$ cho $27$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $27 x = 54$ cho $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{54}{27}$

Bước 7.3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{27 x}{27} = \frac{54}{27}$

Bước 7.3.3.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{54}{27}$

Bước 7.3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.2.3.1

Chia $54$ cho $27$ .

$x = 2$

Bước 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0, 4, 2$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{2 (5 {(0)}^{2} - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {((0) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{2 (5 \cdot 0 - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 10.1.2

Nhân $5$ với $0$ .

$- \frac{2 (0 - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 10.1.3

Nhân $- 20$ với $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 10.1.4

Cộng $0$ và $0$ .

$- \frac{2 (0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 10.1.5

Cộng $0$ và $24$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 10.2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 10.2.2

Nhân $2$ với $24$ .

$- \frac{48}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 10.2.3

Đưa $3$ ra ngoài $48$ .

$- \frac{3 (16)}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 10.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{3 (16)}{3 (3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}})}$

Bước 10.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3 \cdot 16}{3 (3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}})}$

Bước 10.3.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 11

$x = 0$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = (- \frac{1}{4}) {((0) - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 12.2.1.2

Kết hợp ${(- 2)}^{\frac{8}{3}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 12.2.1.3

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 12.2.2

Để viết $4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 12.2.3

Kết hợp $4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ và $\frac{4}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + \frac{4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{4}$

Bước 12.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.4.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (0) = \frac{- {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{4}$

Bước 12.2.4.2

Nhân $4$ với $4$ .

$f (0) = \frac{- {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Bước 12.2.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- {(- 2)}^{\frac{8}{3}}$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) + 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Bước 12.2.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) - (- 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

Bước 12.2.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) - (- 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

Bước 12.2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.8.1

Viết lại $- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ ở dạng $- 1 ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ .

$f (0) = \frac{- 1 ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

Bước 12.2.8.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Bước 12.2.9

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$ .

$y = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 4$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{2 (5 {(4)}^{2} - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {((4) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{2 (5 \cdot 16 - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 14.1.2

Nhân $5$ với $16$ .

$- \frac{2 (80 - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 14.1.3

Nhân $- 20$ với $4$ .

$- \frac{2 (80 - 80 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 14.1.4

Trừ $80$ khỏi $80$ .

$- \frac{2 (0 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 14.1.5

Cộng $0$ và $24$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 14.2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Bước 14.2.2

Nhân $2$ với $24$ .

$- \frac{48}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Bước 14.2.3

Đưa $3$ ra ngoài $48$ .

$- \frac{3 (16)}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Bước 14.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{3 (16)}{3 (3 \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

Bước 14.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3 \cdot 16}{3 (3 \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

Bước 14.3.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{16}{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Bước 15

$x = 4$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 4$ là cực đại địa phương

Bước 16

Tìm giá trị y khi $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f (4) = (- \frac{1}{4}) {((4) - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 16.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.1

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$f (4) = - \frac{1}{4} \cdot 2^{\frac{8}{3}} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 16.2.1.2

Kết hợp $2^{\frac{8}{3}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 16.2.1.3

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Bước 16.2.1.4

Nhân $4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Bước 16.2.1.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2 + \frac{2}{3}}$

Bước 16.2.1.4.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}$

Bước 16.2.1.4.4

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}$

Bước 16.2.1.4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}$

Bước 16.2.1.4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.4.6.1

Nhân $2$ với $3$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{6 + 2}{3}}$

Bước 16.2.1.4.6.2

Cộng $6$ và $2$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{8}{3}}$

Bước 16.2.2

Để viết $2^{\frac{8}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 16.2.3

Kết hợp $2^{\frac{8}{3}}$ và $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{8}{3}} \cdot 4}{4}$

Bước 16.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot 4}{4}$

Bước 16.2.5

Nhân $2^{\frac{8}{3}} \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.5.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot 2^{2}}{4}$

Bước 16.2.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + 2}}{4}$

Bước 16.2.5.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}{4}$

Bước 16.2.5.4

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}{4}$

Bước 16.2.5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8 + 2 \cdot 3}{3}}}{4}$

Bước 16.2.5.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.5.6.1

Nhân $2$ với $3$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8 + 6}{3}}}{4}$

Bước 16.2.5.6.2

Cộng $8$ và $6$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Bước 16.2.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2^{\frac{8}{3}}$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}}) + 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Bước 16.2.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $2^{\frac{14}{3}}$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}}) - 1 (- 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

Bước 16.2.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2^{\frac{8}{3}}) - 1 (- 2^{\frac{14}{3}})$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

Bước 16.2.9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.9.1

Viết lại $- (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})$ ở dạng $- 1 (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})$ .

$f (4) = \frac{- 1 (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

Bước 16.2.9.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Bước 16.2.10

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$ .

$y = - \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Bước 17

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 2$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 {((2) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.1.2

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Bước 18.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Bước 18.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{4}}$

Bước 18.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0}$

Bước 18.3.2

Nhân $9$ với $0$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{0}$

Bước 18.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{0}$

Bước 18.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 19

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Bước 19.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = - \frac{(2 (- 2)) ((- 2) - 4)}{3 {((- 2) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.2.1.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (- 2 - 4)}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.2.2.1.2

Trừ $2$ khỏi $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (- 2 - 4)}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.2.2.1.3

Trừ $4$ khỏi $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 \cdot - 6}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.2.2.1.4

Nhân $- 4$ với $- 6$ .

$f' (- 2) = - \frac{24}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.2.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $24$ .

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.2.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 ({(- 4)}^{\frac{1}{3}})}$

Bước 19.2.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.2.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$f' (- 2) = - \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.2.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1$ , từ khoảng $(0, 2)$ trong đạo hàm đầu tiên $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = - \frac{(2 (1)) ((1) - 4)}{3 {((1) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(1 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.3.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.3.2.2.2

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.3.2.2.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Bước 19.3.2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Bước 19.3.2.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 (- 1)}$

Bước 19.3.2.2.5

Tính số mũ.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 \cdot - 1}$

Bước 19.3.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.2.3.1

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 3}{3 \cdot - 1}$

Bước 19.3.2.3.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 3}{- 3}$

Bước 19.3.2.3.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$f' (1) = - \frac{- 6}{- 3}$

Bước 19.3.2.3.4

Chia $- 6$ cho $- 3$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Bước 19.3.2.3.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (1) = - 2$

Bước 19.3.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 2$ .

$- 2$

Bước 19.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $3$ , từ khoảng $(2, 4)$ trong đạo hàm đầu tiên $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = - \frac{(2 (3)) ((3) - 4)}{3 {((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.2.1

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (3) = - \frac{2 \cdot (3 ((3) - 4))}{3 {((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$f' (3) = - \frac{(2) ((3) - 4)}{{((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.4.2.1.3

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(3 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.4.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.4.2.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Bước 19.4.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.2.3.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (3) = - \frac{- 2}{1}$

Bước 19.4.2.3.2

Chia $- 2$ cho $1$ .

$f' (3) = 2$

Bước 19.4.2.3.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f' (3) = 2$

Bước 19.4.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 19.5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $6$ , từ khoảng $(4, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $6$ trong biểu thức.

$f' (6) = - \frac{(2 (6)) ((6) - 4)}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $(2 (6)) ((6) - 4)$ .

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.5.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 ({((6) - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

Bước 19.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (6) = - \frac{2 \cdot ((2) ((6) - 4))}{{((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.5.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (6) = - \frac{4 (6 - 4)}{{(6 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.5.2.4

Trừ $2$ khỏi $6$ .

$f' (6) = - \frac{4 (6 - 4)}{4^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.5.2.5

Trừ $4$ khỏi $6$ .

$f' (6) = - \frac{4 \cdot 2}{4^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.5.2.6

Nhân $4$ với $2$ .

$f' (6) = - \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.5.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực đại địa phương.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 19.7

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = 2$ , nên $x = 2$ là một cực tiểu địa phương.

$x = 2$ là cực tiểu địa phương

Bước 19.8

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 4$ , nên $x = 4$ là một cực đại địa phương.

$x = 4$ là cực đại địa phương

Bước 19.9

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = (- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = 2$ là cực tiểu địa phương

$x = 4$ là cực đại địa phương

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = 2$ là cực tiểu địa phương

$x = 4$ là cực đại địa phương

Bước 20