Giải tích Ví dụ

$\sin (x) - \cos (x)$

Bước 1

Viết $\sin (x) - \cos (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Bước 2.3.4

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 8

Tách các phân số.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 9

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 10

Chia $0$ cho $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Bước 11

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Bước 12

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\tan (x) = - 1$

Bước 13

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- 1)$

Bước 14

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Giá trị chính xác của $\arctan (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Bước 15

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Bước 16

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Bước 16.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{4}$ dương và có cùng cạnh cuối với $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 17

Đáp án của phương trình $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Bước 18

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - \frac{π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \sin (- \frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 19

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 19.1.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 19.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 19.1.4

Nhân $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 19.1.4.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 19.1.5

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Bước 19.1.6

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Bước 19.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 19.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Bước 19.2.2

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 19.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 19.2.3.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$\sqrt{2}$

Bước 20

$x = - \frac{π}{4}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - \frac{π}{4}$ là cực tiểu địa phương

Bước 21

Tìm giá trị y khi $x = - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{π}{4}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 21.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 21.2.1.2

$f (- \frac{π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 21.2.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 21.2.1.4

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

Bước 21.2.1.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 21.2.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 21.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 21.2.2.2

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 21.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Bước 21.2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 21.2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 21.2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Bước 21.2.2.3.2.4

Chia $- \sqrt{2}$ cho $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

Bước 21.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Bước 22

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{3 π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 23

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 23.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 23.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 23.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 23.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 23.2.2

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 23.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Bước 23.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 23.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 23.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Bước 23.2.3.2.4

Chia $- \sqrt{2}$ cho $1$ .

$- \sqrt{2}$

Bước 24

$x = \frac{3 π}{4}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{3 π}{4}$ là cực đại địa phương

Bước 25

Tìm giá trị y khi $x = \frac{3 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 25.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 25.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 25.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Bước 25.2.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 25.2.1.5

Nhân $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 25.2.1.5.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 25.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Bước 25.2.2.2

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 25.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 25.2.2.3.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

Bước 25.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Bước 26

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \sqrt{2})$ là một cực tiểu địa phương

$(\frac{3 π}{4}, \sqrt{2})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 27