Giải tích Ví dụ

$2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Bước 1

Viết $2 \sin (x) + \cos (2 x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \sin (x) + \cos (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$2 \cos (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 2.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Bước 2.3.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 \cos (x) - 2 \sin (2 x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \cos (x) - 2 \sin (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Bước 3.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin (2 x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 3.3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 3.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Bước 3.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Bước 3.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Bước 3.3.7

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \cos (2 x)$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$2 \cos (x) - 2 \sin (2 x) = 0$

Bước 5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$2 \cos (x) - 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Bước 6

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $2 \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Bước 6.2

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $- 4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) = 0$

Bước 6.3

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ .

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Bước 7

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Bước 8

Đặt $\cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $\cos (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 8.2

Giải $\cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 8.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 8.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 8.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 8.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 8.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 8.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 8.2.5

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Bước 9

Đặt $1 - 2 \sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt $1 - 2 \sin (x)$ bằng với $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Bước 9.2

Giải $1 - 2 \sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Bước 9.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (x) = - 1$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (x) = - 1$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Bước 9.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Bước 9.2.2.2.1.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Bước 9.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Bước 9.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Bước 9.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Bước 9.2.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{6}$

Bước 9.2.6

Rút gọn $π - \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.6.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 9.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.6.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 9.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 9.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.6.3.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Bước 9.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Bước 9.2.7

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Bước 10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 \cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \sin (\frac{π}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 2 \cdot 1 - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 12.1.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 12.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 - 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

Bước 12.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 - 4 \cos (π)$

Bước 12.1.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- 2 - 4 (- \cos (0))$

Bước 12.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Bước 12.1.6

Nhân $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 - 4 \cdot - 1$

Bước 12.1.6.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$- 2 + 4$

Bước 12.2

Cộng $- 2$ và $4$ .

$2$

Bước 13

$x = \frac{π}{2}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 14

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 14.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 14.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 14.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 14.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (π)$

Bước 14.2.1.4

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (0)$

Bước 14.2.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 1 \cdot 1$

Bước 14.2.1.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 1$

Bước 14.2.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Bước 14.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$y = 1$

Bước 15

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{3 π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 16

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 16.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 16.1.3

Nhân $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 16.1.3.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 16.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 - 4 \cos (2 \frac{3 π}{2})$

Bước 16.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 - 4 \cos (3 π)$

Bước 16.1.5

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$2 - 4 \cos (π)$

Bước 16.1.6

$2 - 4 (- \cos (0))$

Bước 16.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Bước 16.1.8

Nhân $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.8.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 - 4 \cdot - 1$

Bước 16.1.8.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$2 + 4$

Bước 16.2

Cộng $2$ và $4$ .

$6$

Bước 17

$x = \frac{3 π}{2}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{3 π}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 18

Tìm giá trị y khi $x = \frac{3 π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 18.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 18.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 18.2.1.3

Nhân $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 18.2.1.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 18.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 18.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (3 π)$

Bước 18.2.1.5

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (π)$

Bước 18.2.1.6

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (0)$

Bước 18.2.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - 1 \cdot 1$

Bước 18.2.1.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - 1$

Bước 18.2.2

Trừ $1$ khỏi $- 2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3$

Bước 18.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3$ .

$y = - 3$

Bước 19

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{6}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \sin (\frac{π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 20

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 20.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 20.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 20.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 20.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

Bước 20.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Bước 20.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 - 4 \cos (\frac{π}{3})$

Bước 20.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - 4 (\frac{1}{2})$

Bước 20.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$- 1 + 2 (- 2) \frac{1}{2}$

Bước 20.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2}$

Bước 20.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 - 2$

Bước 20.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$- 3$

Bước 21

$x = \frac{π}{6}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{6}$ là cực đại địa phương

Bước 22

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{6}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 22.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 22.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 22.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 22.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Bước 22.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Bước 22.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 22.2.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \frac{1}{2}$

Bước 22.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 22.2.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 + 1}{2}$

Bước 22.2.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$

Bước 22.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Bước 23

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{5 π}{6}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \sin (\frac{5 π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 24

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 2 \sin (\frac{π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 24.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 24.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 24.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 24.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 24.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Bước 24.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Bước 24.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 - 4 \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 24.1.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 1 - 4 \cos (\frac{π}{3})$

Bước 24.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - 4 (\frac{1}{2})$

Bước 24.1.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$- 1 + 2 (- 2) \frac{1}{2}$

Bước 24.1.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2}$

Bước 24.1.7.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 - 2$

Bước 24.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$- 3$

Bước 25

$x = \frac{5 π}{6}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{5 π}{6}$ là cực đại địa phương

Bước 26

Tìm giá trị y khi $x = \frac{5 π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{5 π}{6}$ trong biểu thức.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \sin (\frac{5 π}{6}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 26.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 26.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 26.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 26.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 26.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Bước 26.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Bước 26.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 26.2.1.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 26.2.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \frac{1}{2}$

Bước 26.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.2.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 26.2.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{2 + 1}{2}$

Bước 26.2.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{3}{2}$

Bước 26.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Bước 27

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ là một cực tiểu địa phương

$(\frac{3 π}{2}, - 3)$ là một cực tiểu địa phương

$(\frac{π}{6}, \frac{3}{2})$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{5 π}{6}, \frac{3}{2})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 28