Giải tích Ví dụ

$- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1

Không thể hoàn thành đạo hàm này bằng quy tắc thương số. Mathway sẽ sử dụng một phương pháp khác.

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 12 y^{\frac{3}{2}}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 12$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

Bước 4.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

Bước 4.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.5

Vì $12 y^{\frac{1}{2}}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x y^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} (12 \cdot {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.6.2

Nhân $12$ với $12$ .

$144 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$144 y^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$144 y^{\frac{1 + 3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6.2

Cộng $1$ và $3$ .

$144 y^{\frac{4}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$144 y^{\frac{2}{1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6.3.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \cdot 1)$

Bước 8

Nhân ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ với $1$ .

$144 y^{2} {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$144 y^{2} \frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $144$ và $\frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$y^{2} \frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.2.2

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.2.3

Di chuyển $144$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$\frac{144 y^{2}}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$

Bước 9.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{144 y^{2}}{{(12 x y^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$