Giải tích Ví dụ

$- \frac{5 y}{5 x + 2 y}$

Bước 1

Không thể hoàn thành đạo hàm này bằng quy tắc thương số. Mathway sẽ sử dụng một phương pháp khác.

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 5 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{5 y}{5 x + 2 y}$ đối với $x$ là $- 5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2 y}]$ .

$- 5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2 y}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{1}{5 x + 2 y}$ ở dạng ${(5 x + 2 y)}^{- 1}$ .

$- 5 y \frac{d}{d x} [{(5 x + 2 y)}^{- 1}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 5 x + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x + 2 y$ .

$- 5 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 5 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x + 2 y$ .

$- 5 y (- {(5 x + 2 y)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Bước 4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x + 2 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Bước 4.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Bước 4.5

Nhân $5$ với $1$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Bước 4.6

Vì $2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 + 0))$

Bước 4.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Cộng $5$ và $0$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} \cdot 5)$

Bước 4.7.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của ${(5 x + 2 y)}^{- 2}$ .

$5 y (5 \cdot {(5 x + 2 y)}^{- 2})$

Bước 4.7.3

Nhân $5$ với $5$ .

$25 y {(5 x + 2 y)}^{- 2}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 y \frac{1}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $25$ và $\frac{1}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$ .

$y \frac{25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Bước 5.2.2

Kết hợp $y$ và $\frac{25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$ .

$\frac{y \cdot 25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Bước 5.2.3

Di chuyển $25$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{25 y}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$