Giải tích Ví dụ

$y = \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 8 x^{\frac{3}{2}}$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{3}{2}}] - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{x (8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (8 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8

Kết hợp $8$ và $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x \frac{8 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 9

Nhân $3$ với $8$ .

$\frac{x \frac{24 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 10

Đưa $2$ ra ngoài $24 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 11.4

Chia $12 x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$\frac{x (12 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x (12 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{12 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 13.1.1.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} x) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 13.1.1.2.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 13.1.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{12 x^{\frac{1}{2} + 1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 13.1.1.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{12 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 13.1.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{12 x^{\frac{1 + 2}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 13.1.1.2.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 13.1.1.3

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 13.1.1.4

Nhân $- 8$ với $1$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 8 x^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Bước 13.1.2

Trừ $8 x^{\frac{3}{2}}$ khỏi $12 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Bước 13.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Di chuyển $x^{\frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{4}{x^{2} x^{- \frac{3}{2}}}$

Bước 13.2.2

Nhân $x^{2}$ với $x^{- \frac{3}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4}{x^{2 - \frac{3}{2}}}$

Bước 13.2.2.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Bước 13.2.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Bước 13.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}}}$

Bước 13.2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.5.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4}{x^{\frac{4 - 3}{2}}}$

Bước 13.2.2.5.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$