Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2}}{{(3 + x)}^{7}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = {(3 + x)}^{7}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{7}]}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{7}]}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{7}$ và $g (x) = 3 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 + x$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [3 + x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [3 + x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 + x$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} \frac{d}{d x} [3 + x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]))}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 4.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} (0 + \frac{d}{d x} [x]))}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} \frac{d}{d x} [x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} \cdot 1)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 4.5

Nhân $7$ với $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa ${(3 + x)}^{6} x$ ra ngoài ${(3 + x)}^{7} \cdot 2 x - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Đưa ${(3 + x)}^{6} x$ ra ngoài ${(3 + x)}^{7} \cdot 2 x$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 5.1.1.2

Đưa ${(3 + x)}^{6} x$ ra ngoài $- x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2) + {(3 + x)}^{6} x (- x \cdot 7)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 5.1.1.3

Đưa ${(3 + x)}^{6} x$ ra ngoài ${(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2) + {(3 + x)}^{6} x (- x \cdot 7)$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2 - x \cdot 7)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 5.1.2

Nhân $7$ với $- 1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2 - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 5.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (3 \cdot 2 + x \cdot 2 - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 5.1.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 + x \cdot 2 - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 5.1.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 + 2 x - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 5.1.4

Trừ $7 x$ khỏi $2 x$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân các số mũ trong ${({(3 + x)}^{7})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)}{{(3 + x)}^{7 \cdot 2}}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $7$ với $2$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)}{{(3 + x)}^{14}}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(3 + x)}^{6}$ và ${(3 + x)}^{14}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa ${(3 + x)}^{6}$ ra ngoài ${(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} (x (6 - 5 x))}{{(3 + x)}^{14}}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Đưa ${(3 + x)}^{6}$ ra ngoài ${(3 + x)}^{14}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} (x (6 - 5 x))}{{(3 + x)}^{6} {(3 + x)}^{8}}$

Bước 5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(3 + x)}^{6} (x (6 - 5 x))}{{(3 + x)}^{6} {(3 + x)}^{8}}$

Bước 5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x (6 - 5 x)}{{(3 + x)}^{8}}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x (6 - 5 x)}{{(x + 3)}^{8}}$