Giải tích Ví dụ

$\arctan (2 x - x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Bước 1.1.1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Bước 1.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x - x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 1.1.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 1.1.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 1.1.2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - (2 x))$

Bước 1.1.2.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.7.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - 2 x)$

Bước 1.1.2.7.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - 2 x)$ .

$f' (x) = (2 - 2 x) \frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}})$ .

$(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}})$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 - 2 x = 0$

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$

Bước 2.3

Đặt $2 - 2 x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt $2 - 2 x$ bằng với $0$ .

$2 - 2 x = 0$

Bước 2.3.2

Giải $2 - 2 x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 x = - 2$

Bước 2.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x = - 2$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x = - 2$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Bước 2.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Bước 2.3.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 2}$

Bước 2.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.3.1

Chia $- 2$ cho $- 2$ .

$x = 1$

Bước 2.4

Đặt $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$ bằng với $0$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$

Bước 2.4.2

Giải $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Cho tử bằng không.

$1 = 0$

Bước 2.4.2.2

Vì $1 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$ đúng.

$x = 1$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $\arctan (2 x - x^{2})$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$\arctan (2 (1) - {(1)}^{2})$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\arctan (2 - {(1)}^{2})$

Bước 4.1.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\arctan (2 - 1 \cdot 1)$

Bước 4.1.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\arctan (2 - 1)$

Bước 4.1.2.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\arctan (1)$

Bước 4.1.2.3

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

Bước 4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(1, \frac{π}{4})$

Bước 5