Giải tích Ví dụ

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 \sin (x)$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 1.1.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Bước 1.1.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

Bước 2.2

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 2.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 2.3.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$6 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 2.3.1.3

Nhân $- 2$ với $2$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Bước 2.4

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay thế $- 4 \sin^{2} (x)$ bằng $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Bước 2.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Bước 2.4.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Bước 2.4.2.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Bước 2.4.3

Trừ $4$ khỏi $2$ .

$6 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Bước 2.4.4

Sắp xếp lại đa thức.

$4 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) - 2 = 0$

Bước 2.4.5

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

Bước 2.4.6

Đưa $2$ ra ngoài $4 u^{2} + 6 u - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 6 u - 2 = 0$

Bước 2.4.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $6 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) - 2 = 0$

Bước 2.4.6.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 (- 1) = 0$

Bước 2.4.6.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 u^{2}) + 2 (3 u)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1) = 0$

Bước 2.4.6.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

Bước 2.4.7

Chia mỗi số hạng trong $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.4.7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.4.7.2.1.2

Chia $2 u^{2} + 3 u - 1$ cho $1$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = \frac{0}{2}$

Bước 2.4.7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = 0$

Bước 2.4.8

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.4.9

Thay các giá trị $a = 2$ , $b = 3$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.10.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.10.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.10.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.10.1.2.2

Nhân $- 8$ với $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.10.1.3

Cộng $9$ và $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Bước 2.4.11

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.11.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.11.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.11.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.11.1.2.2

Nhân $- 8$ với $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.11.1.3

Cộng $9$ và $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.11.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Bước 2.4.11.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$u = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{4}$

Bước 2.4.11.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{17}}{4}$

Bước 2.4.11.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{17}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{17})}{4}$

Bước 2.4.11.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{17})$ .

$u = \frac{- 1 (3 - \sqrt{17})}{4}$

Bước 2.4.11.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Bước 2.4.12

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.12.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.12.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.12.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.12.1.2.2

Nhân $- 8$ với $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.12.1.3

Cộng $9$ và $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.12.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Bước 2.4.12.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$u = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{4}$

Bước 2.4.12.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{17}}{4}$

Bước 2.4.12.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{17}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{17})}{4}$

Bước 2.4.12.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (3) - (\sqrt{17})$ .

$u = \frac{- 1 (3 + \sqrt{17})}{4}$

Bước 2.4.12.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Bước 2.4.13

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Bước 2.4.14

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Bước 2.4.15

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Bước 2.4.16

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.16.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

Bước 2.4.16.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.16.2.1

Tính $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 1.28619336$

Bước 2.4.16.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

Bước 2.4.16.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.16.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

Bước 2.4.16.4.2

Rút gọn $2 (3.14159265) - 1.28619336$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.16.4.2.1

Nhân $2$ với $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.28619336$

Bước 2.4.16.4.2.2

Trừ $1.28619336$ khỏi $6.2831853$ .

$x = 4.99699194$

Bước 2.4.16.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.16.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.4.16.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 2.4.16.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 2.4.16.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 2.4.16.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.4.17

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.17.1

Khoảng biến thiên của cosin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 2.4.18

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 1.28619336$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $1.28619336$ bằng $x$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2 (1.28619336))$

Bước 4.1.2

Nhân $2$ với $1.28619336$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 4.99699194$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $4.99699194$ bằng $x$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (2 (4.99699194))$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $4.99699194$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)$

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = 4.99699194 + 2 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $4.99699194 + 2 π$ bằng $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 2 π) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

Bước 4.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Cộng $4.99699194$ và $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

Bước 4.3.2.2

Cộng $4.99699194$ và $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 \cdot 11.28017724)$

Bước 4.3.2.3

Nhân $2$ với $11.28017724$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)$

Bước 4.4

Tính giá trị tại $x = 4.99699194 + 4 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Thay $4.99699194 + 4 π$ bằng $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 4 π) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

Bước 4.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Cộng $4.99699194$ và $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

Bước 4.4.2.2

Cộng $4.99699194$ và $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 \cdot 17.56336255)$

Bước 4.4.2.3

Nhân $2$ với $17.56336255$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)$

Bước 4.5

Tính giá trị tại $x = 4.99699194 + 6 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Thay $4.99699194 + 6 π$ bằng $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 6 π) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

Bước 4.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Cộng $4.99699194$ và $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

Bước 4.5.2.2

Cộng $4.99699194$ và $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 \cdot 23.84654786)$

Bước 4.5.2.3

Nhân $2$ với $23.84654786$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)$

Bước 4.6

Tính giá trị tại $x = 4.99699194 + 8 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Thay $4.99699194 + 8 π$ bằng $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 8 π) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

Bước 4.6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Cộng $4.99699194$ và $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

Bước 4.6.2.2

Cộng $4.99699194$ và $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 \cdot 30.12973317)$

Bước 4.6.2.3

Nhân $2$ với $30.12973317$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634)$

Bước 4.7

Liệt kê tất cả các điểm.

$(1.28619336 + 2 π n, 6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)), (4.99699194, 6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)), (4.99699194 + 2 π, 6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)), (4.99699194 + 4 π, 6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)), (4.99699194 + 6 π, 6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)), (4.99699194 + 8 π, 6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634))$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5