Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{5} x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.2.4

Kết hợp $\frac{5}{5}$ và $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.2.5.2

Chia $x^{4}$ cho $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- \frac{4}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4}{3} x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x^{4} - \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$x^{4} - 3 (\frac{4}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.3.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{4}{3}$ .

$x^{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.3.5

Nhân $- 3$ với $4$ .

$x^{4} + \frac{- 12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.3.6

Kết hợp $\frac{- 12}{3}$ và $x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{- 12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 12 x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{4} + \frac{- 4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.3.7.2.4

Chia $- 4 x^{2}$ cho $1$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $\frac{17}{15}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{17}{15}$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $x^{4} - 4 x^{2}$ và $0$ .

$f' (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x^{4} - 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 4 x^{2}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $x^{4} - 4 x^{2} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} = 0$

Bước 2.2.2

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$u^{2} - 4 u = 0$

Bước 2.2.3

Đưa $u$ ra ngoài $u^{2} - 4 u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $u$ ra ngoài $u^{2}$ .

$u \cdot u - 4 u = 0$

Bước 2.2.3.2

Đưa $u$ ra ngoài $- 4 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 4 = 0$

Bước 2.2.3.3

Đưa $u$ ra ngoài $u \cdot u + u \cdot - 4$ .

$u (u - 4) = 0$

Bước 2.2.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Bước 2.4

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 2.4.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 2.4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 2.4.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5

Đặt $x^{2} - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x^{2} - 4$ bằng với $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Bước 2.5.2

Giải $x^{2} - 4 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 4$

Bước 2.5.2.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{4}$

Bước 2.5.2.3

Rút gọn $\pm \sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Bước 2.5.2.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 2$

Bước 2.5.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2$

Bước 2.5.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2$

Bước 2.5.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2, - 2$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ đúng.

$x = 0, 2, - 2$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.1.2.1.2

Nhân $\frac{1}{5}$ với $0$ .

$0 - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.1.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - \frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{17}{15}$

Bước 4.1.2.1.4

Nhân $- \frac{4}{3} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.4.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Bước 4.1.2.1.4.2

Nhân $0$ với $\frac{4}{3}$ .

$0 + 0 + \frac{17}{15}$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + \frac{17}{15}$

Bước 4.1.2.2.2

Cộng $0$ và $\frac{17}{15}$ .

$\frac{17}{15}$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $2$ bằng $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(2)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 32 - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2.1.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $32$ .

$\frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot 8 + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2.1.4

Nhân $- \frac{4}{3} \cdot 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.4.1

Nhân $8$ với $- 1$ .

$\frac{32}{5} - 8 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2.1.4.2

Kết hợp $- 8$ và $\frac{4}{3}$ .

$\frac{32}{5} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2.1.4.3

Nhân $- 8$ với $4$ .

$\frac{32}{5} + \frac{- 32}{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{32}{5} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Nhân $\frac{32}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2.2.2

Nhân $\frac{32}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2.2.3

Nhân $\frac{32}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2.2.4

Nhân $\frac{32}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2.2.5

Sắp xếp lại các thừa số của $5 \cdot 3$ .

$\frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 5} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2.2.6

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2.2.7

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{15} + \frac{17}{15}$

Bước 4.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{32 \cdot 3 - 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Bước 4.2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.4.1

Nhân $32$ với $3$ .

$\frac{96 - 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Bước 4.2.2.4.2

Nhân $- 32$ với $5$ .

$\frac{96 - 160 + 17}{15}$

Bước 4.2.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.5.1

Trừ $160$ khỏi $96$ .

$\frac{- 64 + 17}{15}$

Bước 4.2.2.5.2

Cộng $- 64$ và $17$ .

$\frac{- 47}{15}$

Bước 4.2.2.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{47}{15}$

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $- 2$ bằng $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(- 2)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot - 32 - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2.1.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $- 32$ .

$\frac{- 32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2.1.4

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot - 8 + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2.1.5

Nhân $- \frac{4}{3} \cdot - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.5.1

Nhân $- 8$ với $- 1$ .

$- \frac{32}{5} + 8 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2.1.5.2

Kết hợp $8$ và $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{32}{5} + \frac{8 \cdot 4}{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2.1.5.3

Nhân $8$ với $4$ .

$- \frac{32}{5} + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Nhân $\frac{32}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2.2.2

Nhân $\frac{32}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2.2.3

Nhân $\frac{32}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2.2.4

Nhân $\frac{32}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2.2.5

Sắp xếp lại các thừa số của $5 \cdot 3$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 5} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2.2.6

Nhân $3$ với $5$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2.2.7

Nhân $3$ với $5$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{32 \cdot 5}{15} + \frac{17}{15}$

Bước 4.3.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 32 \cdot 3 + 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Bước 4.3.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.1

Nhân $- 32$ với $3$ .

$\frac{- 96 + 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Bước 4.3.2.4.2

Nhân $32$ với $5$ .

$\frac{- 96 + 160 + 17}{15}$

Bước 4.3.2.5

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.5.1

Cộng $- 96$ và $160$ .

$\frac{64 + 17}{15}$

Bước 4.3.2.5.2

Cộng $64$ và $17$ .

$\frac{81}{15}$

Bước 4.3.2.5.3

Triệt tiêu thừa số chung của $81$ và $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.5.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $81$ .

$\frac{3 (27)}{15}$

Bước 4.3.2.5.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.5.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $15$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 5}$

Bước 4.3.2.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 5}$

Bước 4.3.2.5.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{27}{5}$

Bước 4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, \frac{17}{15}), (2, - \frac{47}{15}), (- 2, \frac{27}{5})$

Bước 5