Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ ; $x = 0.4$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $1 - x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.3.7

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.3.7.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.3.9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.9.1

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.3.9.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.3.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.3.2

Cộng $- 2 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.5

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{2} + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.5.2

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.5.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (- x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.7

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.9

Viết lại $- (x - 2)$ ở dạng $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.4.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x (x - 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Bước 2

Thay thế biến $x$ bằng $0.4$ trong biểu thức.

$f' (0.4) = - \frac{(0.4) ((0.4) - 2)}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

Bước 3

Nhân $0.4$ với $0.4 - 2$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $0.4$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - 0.4)}^{2}}$

Bước 4.2

Trừ $0.4$ khỏi $1$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot {0.6}^{2}}$

Bước 4.3

Nâng $0.6$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot 0.36}$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $3$ với $0.36$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{1.08}$

Bước 5.2

Chia $- 0.64$ cho $1.08$ .

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$

Bước 5.3

Nhân $- 1$ với $- 0.\overline{592}$ .

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$