Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 1$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 10 x - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $10 x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $10 x - 9$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Bước 1.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Bước 1.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Bước 1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Bước 1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Bước 1.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Bước 1.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Bước 1.6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Bước 1.6.3

Di chuyển ${(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Bước 1.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10 x - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Bước 1.8

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Bước 1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Bước 1.10

Nhân $10$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Bước 1.11

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

Bước 1.12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Cộng $10$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

Bước 1.12.2

Kết hợp $\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ và $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.12.3

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 1.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{{(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = \frac{5}{{(10 (1) - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $10$ với $1$ .

$f' (1) = \frac{5}{{(10 - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.2

Trừ $9$ khỏi $10$ .

$f' (1) = \frac{5}{1^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = \frac{5}{1}$

Bước 4

Chia $5$ cho $1$ .

$f' (1) = 5$