Giải tích Ví dụ

$\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$

Bước 1

Tìm nơi biểu thức $\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ không xác định.

$- 2 < x < - 1, x = - \frac{1}{2}$

Bước 2

Vì $\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ khi $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ từ phía bên trái và $\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ từ phía bên phải, thì $x = - \frac{1}{2}$ là một tiệm cận đứng.

$x = - \frac{1}{2}$

Bước 3

Tính $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ để tìm tiệm cận ngang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Phân tích $x^{2} + 3 x + 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $2$ và tổng của chúng là $3$ .

$1, 2$

Bước 3.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}{2 x + 1}$

Bước 3.2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Bước 3.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.3.3

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x + 2) + 1 (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.1.2.4

Sắp xếp lại $x$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.1.2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.1.2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.1.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.1.2.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.2.8.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.1.2.8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.2.8.2.1

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.1.2.8.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + x + 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.1.2.8.3

Cộng $2 x$ và $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 3 x + 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.1.2.9

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.1.3

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.2

Vì $\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.4.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x + 1$ và $g (x) = x + 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.3.5

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.3.7

Nhân $x + 1$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.3.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.3.10

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.3.11

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.3.12

Nhân $x + 2$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.3.13

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.3.14

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4.3.15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{2 x}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.5

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{x}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.6

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.7.1.2

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.7.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.7.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.7.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.7.5

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.7.6

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.8

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.9

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.9.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 3.9.3

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 3.10

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + 0}$

Bước 3.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Chia $2 + 3 \cdot 0$ cho $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 3 \cdot 0)}}{2 + 0}$

Bước 3.11.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)}}{2 + 0}$

Bước 3.11.2.2

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 + 0}$

Bước 3.11.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2}{2}}}{2 + 0}$

Bước 3.11.2.4

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2 + 0}$

Bước 3.11.2.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Bước 3.11.3

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 4

Tính $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ để tìm tiệm cận ngang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Phân tích $x^{2} + 3 x + 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$1, 2$

Bước 4.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}{2 x + 1}$

Bước 4.2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Bước 4.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.3.3

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.3.4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 1) (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x + 2) + 1 (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.1.2.4

Sắp xếp lại $x$ và $2$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.1.2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.1.2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.1.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.1.2.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.8.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.1.2.8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.8.2.1

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.1.2.8.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + x + 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.1.2.8.3

Cộng $2 x$ và $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 3 x + 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.1.2.9

Giới hạn tại vô cực âm của một đa thức bậc chẵn có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.1.3

Giới hạn tại vô cực âm của một đa thức bậc chẵn có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 4.4.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.3.2

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.3.5

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.3.7

Nhân $x + 1$ với $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.3.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.3.10

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.3.11

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.3.12

Nhân $x + 2$ với $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.3.13

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1 + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.3.14

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.4.3.15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.5

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.6

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.7.1.2

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.7.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.7.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.7.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.7.5

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.7.6

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.8

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.9

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Bước 4.9.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 4.9.3

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 4.10

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + 0}$

Bước 4.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Chia $2 + 3 \cdot 0$ cho $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} (2 + 3 \cdot 0)}}{2 + 0}$

Bước 4.11.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.2.1

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)}}{2 + 0}$

Bước 4.11.2.2

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 + 0}$

Bước 4.11.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{2}{2}}}{2 + 0}$

Bước 4.11.2.4

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 + 0}$

Bước 4.11.2.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 + 0}$

Bước 4.11.3

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Bước 4.11.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Bước 4.11.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{2}$

Bước 5

Liệt kê các tiệm cận ngang:

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Bước 6

Sử dụng phép chia đa thức để tìm các tiệm cận xiên. Vì biểu thức này chứa một dấu căn, nên không thực hiện được phép chia đa thức.

Không tìm được các tiệm cận xiên

Bước 7

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Các tiệm cận đứng: $x = - \frac{1}{2}$

Các tiệm cận ngang: $y = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Không tìm được các tiệm cận xiên

Bước 8