Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ và $g (x) = 10 x^{3} - 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $10 x^{3} - 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [10 x^{3} - 6 x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [10 x^{3} - 6 x]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $10 x^{3} - 6 x$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [10 x^{3} - 6 x]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10 x^{3} - 6 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x^{3}$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} (10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} (10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $10$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} (30 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} (30 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} (30 x^{2} - 6 \cdot 1)$

Bước 4.3

Nhân $- 6$ với $1$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} (30 x^{2} - 6)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (30 x^{2} - 6)$

Bước 5.1.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (30 x^{2} - 6)$

Bước 5.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} (30 x^{2} - 6)$

Bước 5.1.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4 - 3}{3}} (30 x^{2} - 6)$

Bước 5.1.4.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{1}{3}} (30 x^{2} - 6)$

Bước 5.1.5

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và ${(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}{3} (30 x^{2} - 6)$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{4 {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}{3} (30 x^{2} - 6)$ .

$(30 x^{2} - 6) \frac{4 {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}{3}$