Giải tích Ví dụ

$\sin (x) - x \cos (x)$

Bước 1

Viết $\sin (x) - x \cos (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) - x \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \cos (x) - \frac{d}{d x} (x \cos (x))$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.1.3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Bước 2.1.3.5

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x))) - \cos (x)$

Bước 2.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f' (x) = \cos (x) + 1 (x (\sin (x))) - \cos (x)$

Bước 2.1.4.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + x \sin (x) - \cos (x)$

Bước 2.1.4.2.3

Trừ $\cos (x)$ khỏi $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \sin (x) + 0$

Bước 2.1.4.2.4

Cộng $x \sin (x)$ và $0$ .

$f' (x) = x \sin (x)$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x \sin (x)$ .

$x \sin (x)$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $x \sin (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$x \sin (x) = 0$

Bước 3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

Bước 3.3

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 3.4

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 3.4.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 3.4.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 3.4.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 3.4.2.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.4.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.4.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.4.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.4.2.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x \sin (x) = 0$ đúng.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.6

Hợp nhất các câu trả lời.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Hợp nhất $0$ và $2 π n$ để $2 π n$ .

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.6.2

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $π n$ .

$π n$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = x \sin (x)$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, π n)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $π n - 1$ trong biểu thức.

$f' (π n - 1) = (π n - 1) \sin (π n - 1)$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - 1 \sin (π n - 1)$

Bước 6.2.2

Viết lại $- 1 \sin (π n - 1)$ ở dạng $- \sin (π n - 1)$ .

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ .

$π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Bước 6.3

Tại $x = π n - 1$ đạo hàm là $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, π n)$ .

Giảm trên $(- \infty, π n)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(π n, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $π n + 1$ trong biểu thức.

$f' (π n + 1) = (π n + 1) \sin (π n + 1)$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + 1 \sin (π n + 1)$

Bước 7.2.2

Nhân $\sin (π n + 1)$ với $1$ .

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ .

$π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Bước 7.3

Tại $x = π n + 1$ đạo hàm là $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(π n, \infty)$ .

Tăng trên $(π n, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(π n, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, π n)$

Bước 9