Giải tích Ví dụ

$\arctan (x^{2} - 2 x)$

Bước 1

Viết $\arctan (x^{2} - 2 x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Bước 2.1.1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Bước 2.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 2.1.2.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \cdot 1)$

Bước 2.1.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.5.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$

Bước 2.1.2.5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ .

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$

Bước 3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Bước 3.3

Đặt $2 x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đặt $2 x - 2$ bằng với $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Bước 3.3.2

Giải $2 x - 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 2$

Bước 3.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 2$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 2$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Bước 3.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Bước 3.3.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Bước 3.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.3.1

Chia $2$ cho $2$ .

$x = 1$

Bước 3.4

Đặt $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ bằng với $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Bước 3.4.2

Giải $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Cho tử bằng không.

$1 = 0$

Bước 3.4.2.2

Vì $1 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ đúng.

$x = 1$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $1$ .

$1$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = (2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {({(0)}^{2} - 2 \cdot 0)}^{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 - 2 \cdot 0)}^{2}})$

Bước 6.2.1.1.2

Nhân $- 2$ với $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 + 0)}^{2}})$

Bước 6.2.1.2

Cộng $0$ và $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

Bước 6.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

Bước 6.2.1.4

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

Bước 6.2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

Bước 6.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$f' (0) = (2 (0) - 2) \cdot 1$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Nhân $2 (0) - 2$ với $1$ .

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Bước 6.2.2.2.2

Nhân $2$ với $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Bước 6.2.2.2.3

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$f' (0) = - 2$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 2$ .

$- 2$

Bước 6.3

Tại $x = 0$ đạo hàm là $- 2$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 1)$ .

Giảm trên $(- \infty, 1)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(1, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {({(2)}^{2} - 2 \cdot 2)}^{2}})$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}})$

Bước 7.2.1.1.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 4)}^{2}})$

Bước 7.2.1.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

Bước 7.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

Bước 7.2.1.4

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

Bước 7.2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

Bước 7.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$f' (2) = (2 (2) - 2) \cdot 1$

Bước 7.2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Nhân $2 (2) - 2$ với $1$ .

$f' (2) = 2 (2) - 2$

Bước 7.2.2.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Bước 7.2.2.2.3

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$f' (2) = 2$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 7.3

Tại $x = 2$ đạo hàm là $2$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(1, \infty)$ .

Tăng trên $(1, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(1, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, 1)$

Bước 9