Giải tích Ví dụ

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Bước 1

Viết $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ ở dạng một hàm số.

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ đối với $θ$ là $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $2 \cos (θ)$ đối với $θ$ là $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Bước 2.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (θ)$ đối với $θ$ là $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Bước 2.1.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = θ^{2}$ và $g (θ) = \cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Bước 2.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Bước 2.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Bước 2.1.3.2

Đạo hàm của $\cos (θ)$ đối với $θ$ là $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Bước 2.1.3.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Bước 2.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (θ)$ đối với $θ$ là $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Bước 3.2

Đưa $2 \sin (θ)$ ra ngoài $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $2 \sin (θ)$ ra ngoài $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

Bước 3.2.2

Đưa $2 \sin (θ)$ ra ngoài $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Bước 3.2.3

Đưa $2 \sin (θ)$ ra ngoài $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

Bước 3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Bước 3.4

Đặt $\sin (θ)$ bằng $0$ và giải tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt $\sin (θ)$ bằng với $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Bước 3.4.2

Giải $\sin (θ) = 0$ để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong hàm sin.

$θ = \arcsin (0)$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$θ = 0$

Bước 3.4.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$θ = π - 0$

Bước 3.4.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$θ = π$

Bước 3.4.2.5

Tìm chu kỳ của $\sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.4.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.4.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.4.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.4.2.6

Chu kỳ của hàm $\sin (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.5

Đặt $- \cos (θ) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đặt $- \cos (θ) - 1$ bằng với $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Bước 3.5.2

Giải $- \cos (θ) - 1 = 0$ để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- \cos (θ) = 1$

Bước 3.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (θ) = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (θ) = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 3.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 3.5.2.2.2.2

Chia $\cos (θ)$ cho $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

Bước 3.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

Bước 3.5.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong cosin.

$θ = \arccos (- 1)$

Bước 3.5.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- 1)$ là $π$ .

$θ = π$

Bước 3.5.2.5

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$θ = 2 π - π$

Bước 3.5.2.6

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$θ = π$

Bước 3.5.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.5.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.5.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.5.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.5.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ đúng.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.7

Hợp nhất các câu trả lời.

$θ = π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $π n$ .

$π n$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, π n)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $θ$ bằng $π n - 1$ trong biểu thức.

$f' (π n - 1) = - 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Bước 6.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$ .

$- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Bước 6.3

Rút gọn.

$- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Bước 6.4

Tại $θ = π n - 1$ đạo hàm là $- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, π n)$ .

Giảm trên $(- \infty, π n)$ vì $f' (θ) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(π n, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $θ$ bằng $π n + 1$ trong biểu thức.

$f' (π n + 1) = - 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Bước 7.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$ .

$- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Bước 7.3

Rút gọn.

$- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Bước 7.4

Tại $θ = π n + 1$ đạo hàm là $- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(π n, \infty)$ .

Giảm trên $(π n, \infty)$ vì $f' (θ) < 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Giảm trên: $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

Bước 9