Giải tích Ví dụ

${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

Bước 1

Viết ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.8.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.8.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.10

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.11

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.12

Kết hợp $2$ và $\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.13

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.14

Kết hợp $\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ và $x$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} x}{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.2.15

Di chuyển ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Bước 2.1.3.2

Cộng $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$4 x = 0$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 0$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$x = 0$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0$ .

$0$

Bước 5

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

Bước 5.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Bước 5.2

Đặt mẫu số trong $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 1} = 0$

Bước 5.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 1})}^{3} = 0^{3}$

Bước 5.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2} - 1}$ ở dạng ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 5.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Rút gọn ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$27 {(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.4

Rút gọn.

$27 (x^{2} - 1) = 0^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.6

Nhân $27$ với $- 1$ .

$27 x^{2} - 27 = 0^{3}$

Bước 5.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$27 x^{2} - 27 = 0$

Bước 5.3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Cộng $27$ cho cả hai vế của phương trình.

$27 x^{2} = 27$

Bước 5.3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $27 x^{2} = 27$ cho $27$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $27 x^{2} = 27$ cho $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Bước 5.3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Bước 5.3.3.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{27}{27}$

Bước 5.3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.3.1

Chia $27$ cho $27$ .

$x^{2} = 1$

Bước 5.3.3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{1}$

Bước 5.3.3.4

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Bước 5.3.3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Bước 5.3.3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Bước 5.3.3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 5.4

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Bước 6

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $4$ với $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 7.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Bước 7.2.3

Nhân $3$ với $3^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nhân $3$ với $3^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Bước 7.2.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Bước 7.2.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Bước 7.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Bước 7.2.3.4

Cộng $3$ và $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 7.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 2) = - \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 7.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 7.3

Tại $x = - 2$ đạo hàm là $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, - 1)$ .

Giảm trên $(- \infty, - 1)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(- 1, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{1}{2}$ trong biểu thức.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.1.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.2.1.3

Nhân $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.2.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.2.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.5.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.2.5.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.7.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

Bước 8.2.2.7.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Bước 8.2.2.8

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Bước 8.2.2.9

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Bước 8.2.2.10

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Bước 8.2.2.10.2

Viết lại biểu thức.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Bước 8.2.2.11

Tính số mũ.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Bước 8.2.3

Chia $- 4$ cho $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Bước 8.2.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 8.2.4.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 8.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.5.1

Đưa dấu âm ra ngoài.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 8.2.5.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 8.2.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 8.2.5.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 8.2.5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 8.2.5.6

Cộng $3$ và $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 8.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 8.2.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Bước 8.2.8

Nhân $- 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.8.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Bước 8.2.8.2

Kết hợp $2$ và $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 8.2.8.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 8.2.8.4

Nhân các số mũ trong ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.8.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 8.2.8.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 8.2.8.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 8.2.8.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 8.2.8.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 8.2.8.8

Cộng $3$ và $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 8.2.9

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 8.3

Tại $x = - \frac{1}{2}$ đạo hàm là $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- 1, 0)$ .

Tăng trên $(- 1, 0)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 9

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{2}$ trong biểu thức.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 9.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 9.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 9.2.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 9.2.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 9.2.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 9.2.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 9.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 9.2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.5.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 9.2.2.5.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 9.2.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 9.2.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.7.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

Bước 9.2.2.7.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Bước 9.2.2.8

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Bước 9.2.2.9

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Bước 9.2.2.10

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Bước 9.2.2.10.2

Viết lại biểu thức.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Bước 9.2.2.11

Tính số mũ.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Bước 9.2.3

Chia $4$ cho $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Bước 9.2.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 9.2.4.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 9.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.5.1

Đưa dấu âm ra ngoài.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 9.2.5.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 9.2.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 9.2.5.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 9.2.5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 9.2.5.6

Cộng $3$ và $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 9.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 9.2.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Bước 9.2.8

Nhân $2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9.2.8.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9.2.8.3

Đưa dấu âm ra ngoài.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 4^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9.2.8.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9.2.8.5

Nhân các số mũ trong ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.8.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9.2.8.5.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{\frac{2}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9.2.8.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9.2.8.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9.2.8.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9.2.8.9

Cộng $3$ và $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9.2.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9.2.10

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9.3

Tại $x = \frac{1}{2}$ đạo hàm là $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, 1)$ .

Giảm trên $(0, 1)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 10

Thay một giá trị từ khoảng $(1, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{3 {({(2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $4$ với $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(2^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.3

Nhân $3$ với $3^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Nhân $3$ với $3^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (2) = \frac{8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Bước 10.2.3.4

Cộng $3$ và $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 10.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Bước 10.3

Tại $x = 2$ đạo hàm là $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(1, \infty)$ .

Tăng trên $(1, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 11

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Bước 12