Giải tích Ví dụ

$y = \log_{6} ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log_{6} (x)$ và $g (x) = {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{6} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\log_{6} (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1} \ln (6)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {u_{2}}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $7$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Bước 7

Kết hợp $\frac{7}{2}$ và ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 10

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2 \cdot 1))$

Bước 12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2))$

Bước 12.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} ((2 x + 2) \frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2})$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Nhân $\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ với $\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)}$ .

$\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6))} (2 x + 2)$

Bước 13.1.2

Di chuyển ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6) {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}} (2 x + 2)$

Bước 13.1.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.3.1

Nhân ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ với ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.3.1.1

Di chuyển ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{7}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}) \ln (6)} (2 x + 2)$

Bước 13.1.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Bước 13.1.3.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{- 5 + 7}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Bước 13.1.3.1.4

Cộng $- 5$ và $7$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Bước 13.1.3.1.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{1} \ln (6)} (2 x + 2)$

Bước 13.1.3.2

Rút gọn $2 {(x^{2} + 2 x)}^{1} \ln (6)$ .

$\frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)} (2 x + 2)$

Bước 13.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)} (2 x + 2)$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)}$

Bước 13.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x \cdot x + 2 x) \ln (6)}$

Bước 13.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x \cdot x + x \cdot 2) \ln (6)}$

Bước 13.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x (x + 2)) \ln (6)}$

$(2 x + 2) \frac{7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Bước 13.4

Nhân $2 x + 2$ với $\frac{7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$ .

$\frac{(2 x + 2) \cdot 7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Bước 13.5

Triệt tiêu thừa số chung của $2 x + 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $(2 x + 2) \cdot 7$ .

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Bước 13.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x (x + 2) \ln (6)$ .

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 ((x (x + 2)) \ln (6))}$

Bước 13.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 ((x (x + 2)) \ln (6))}$

Bước 13.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(x + 1) \cdot 7}{(x (x + 2)) \ln (6)}$

Bước 13.6

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x + 1$ .

$\frac{7 \cdot (x + 1)}{x (x + 2) \ln (6)}$

Bước 13.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{7 (x + 1)}{x (x + 2) \ln (6)}$ .

$\frac{7 (x + 1)}{x \ln (6) (x + 2)}$