Giải tích Ví dụ

$y = 1 - \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (2 x)]$

Bước 1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (2 x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (2 x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (2 x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (2 x)]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (2 x)]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (2 x)]$

Bước 2.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (2 x)]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (2 x)]$

Bước 2.5

Nhân $2$ với $1$ .

$0 - (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (2 x)]$

Bước 2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (2 x)]$

Bước 2.7

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (2 x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos^{2} (2 x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (2 x)]$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (2 x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\cos (2 x)$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (2 x)$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $2 x$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\cos (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $- \sin (u_{3})$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (2 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 x$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 3.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)))$

Bước 3.6

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) \cdot 2))$

Bước 3.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (2 x) (- 2 \sin (2 x)))$

Bước 3.8

Nhân $- 2$ với $2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (- 4 \cos (2 x) \sin (2 x))$

Bước 3.9

Nhân $- 4$ với $2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) - 8 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cộng $0$ và $2 \sin (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) - 8 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 8 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \sin (2 x)$