Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\sec (x) + \csc (x)}{\csc (x)}$

Bước 1

Không thể hoàn thành đạo hàm này bằng quy tắc chuỗi. Mathway sẽ sử dụng một phương pháp khác.

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sec (x) + \csc (x)$ và $g (x) = \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \csc (x)] - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

Bước 3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sec (x) + \csc (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{\csc (x) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

Bước 4

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

Bước 5

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

Bước 6

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) - (\sec (x) + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Bước 7

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + 1 (\sec (x) + \csc (x)) (\csc (x) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Bước 7.2

Nhân $\sec (x) + \csc (x)$ với $1$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + (\sec (x) + \csc (x)) (\csc (x) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Bước 7.3

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + (\sec (x) + \csc (x)) \csc (x) \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $(\sec (x) + \csc (x)) \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) ((\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Bước 7.3.2

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) ((\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Bước 8

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc (x) \csc (x)}$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc (x) \csc (x)}$

Bước 8.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x)}{\csc (x)}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + \sec (x) \cot (x) + \csc (x) \cot (x)}{\csc (x)}$

Bước 9.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + \sec (x) \cot (x) + \csc (x) \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Cộng $- \csc (x) \cot (x)$ và $\csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cot (x) + 0}{\csc (x)}$

Bước 9.2.1.2

Cộng $\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cot (x)$ và $0$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cot (x)}{\csc (x)}$

Bước 9.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.1

Sắp xếp lại $\sec (x)$ và $\cot (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \cot (x) \sec (x)}{\csc (x)}$

Bước 9.2.2.1.2

Viết lại $\sec (x) \cot (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}}{\csc (x)}$

Bước 9.2.2.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \frac{1}{\sin (x)}}{\csc (x)}$

Bước 9.2.2.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \csc (x)}{\csc (x)}$