Giải tích Ví dụ

$y = {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{6}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = {(2 x - 5)}^{- 1}$ và $g (x) = {(x^{2} - 5 x)}^{6}$ .

${(2 x - 5)}^{- 1} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x)}^{6}] + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{6}$ và $g (x) = x^{2} - 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2} - 5 x$ .

${(2 x - 5)}^{- 1} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

${(2 x - 5)}^{- 1} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2} - 5 x$ .

${(2 x - 5)}^{- 1} (6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của ${(2 x - 5)}^{- 1}$ .

$6 \cdot {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x] + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 5 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 3.4

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x - 5 \cdot 1) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 3.6

Nhân $- 5$ với $1$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x - 5) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 4

Nâng $2 x - 5$ lên lũy thừa $1$ .

$6 ({(2 x - 5)}^{1} {(2 x - 5)}^{- 1}) {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 {(2 x - 5)}^{1 - 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$6 {(2 x - 5)}^{0} {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 6.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$6 \cdot 1 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 6.3

Nhân $6$ với $1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 2 x - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x - 5$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Bước 7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Bước 7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x - 5$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Bước 8

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Bước 8.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Bước 8.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Bước 8.4

Nhân $2$ với $1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Bước 8.5

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 + 0))$

Bước 8.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Cộng $2$ và $0$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} \cdot 2)$

Bước 8.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- 2 {(2 x - 5)}^{- 2})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- 2 \frac{1}{{(2 x - 5)}^{2}})$

Bước 9.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{2}}$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{- 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- \frac{2}{{(2 x - 5)}^{2}})$

Bước 9.2.3

Kết hợp ${(x^{2} - 5 x)}^{6}$ và $\frac{2}{{(2 x - 5)}^{2}}$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} - \frac{{(x^{2} - 5 x)}^{6} \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x^{2} - 5 x)}^{6}$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} - \frac{2 \cdot {(x^{2} - 5 x)}^{6}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.2.5

Để viết $6 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}} - \frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{6}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2} - 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6} + 6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Đưa $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ ra ngoài $- 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6} + 6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1.1

Đưa $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ ra ngoài $- 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x)) + 6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.1.2

Đưa $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ ra ngoài $6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x)) + 2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.1.3

Đưa $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ ra ngoài $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x)) + 2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (3 {(2 x - 5)}^{2})$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} - 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{2 {(x \cdot x - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 5 x$ .

$\frac{2 {(x \cdot x + x \cdot - 5)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$\frac{2 {(x (x - 5))}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $x (x - 5)$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} - (- 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.2

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.3

Viết lại ${(2 x - 5)}^{2}$ ở dạng $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 ((2 x - 5) (2 x - 5)))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.4

Khai triển $(2 x - 5) (2 x - 5)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.4.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.4.5.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.5.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.4.5.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.5.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.5.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.5.1.4

Nhân $- 5$ với $2$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.5.1.5

Nhân $2$ với $- 5$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.5.1.6

Nhân $- 5$ với $- 5$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.5.2

Trừ $10 x$ khỏi $- 10 x$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 20 x + 25))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2}) + 3 (- 20 x) + 3 \cdot 25)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.4.7.1

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 12 x^{2} + 3 (- 20 x) + 3 \cdot 25)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.7.2

Nhân $- 20$ với $3$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 12 x^{2} - 60 x + 3 \cdot 25)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.4.7.3

Nhân $3$ với $25$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 12 x^{2} - 60 x + 75)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.5

Cộng $- x^{2}$ và $12 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (11 x^{2} + 5 x - 60 x + 75)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Bước 9.4.6

Trừ $60 x$ khỏi $5 x$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (11 x^{2} - 55 x + 75)}{{(2 x - 5)}^{2}}$