Giải tích Ví dụ

$\tan^{-1} (x^{2} y)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan^{-1} (x)$ và $g (x) = x^{2} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\tan^{-1} (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y (2 x))$

Bước 2.3

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 \cdot y x)$

Bước 2.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $2 y x$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 x y)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}} (2 x y)$

Bước 3.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}} (2 x y)$

Bước 3.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (2 x y)$

Bước 3.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4} y^{2}} (x y)$

Bước 3.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2}{1 + x^{4} y^{2}} y$

Bước 3.2.4

Kết hợp $\frac{x \cdot 2}{1 + x^{4} y^{2}}$ và $y$ .

$\frac{x \cdot 2 y}{1 + x^{4} y^{2}}$

Bước 3.2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{2 x y}{1 + x^{4} y^{2}}$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 x y}{x^{4} y^{2} + 1}$