Giải tích Ví dụ

${(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ là $f' (g (z)) g' (z)$ trong đó $f (z) = z^{3}$ và $g (z) = x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d z} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d z} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} \frac{d}{d z} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d z} [3 x z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (\frac{d}{d z} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d z} [3 x z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Bước 2.2

Vì $x^{2} y^{3}$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $x^{2} y^{3}$ đối với $z$ là $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + \frac{d}{d z} [3 x z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d z} [3 x z]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3 x$ không đổi đối với $z$ , nên đạo hàm của $3 x z$ đối với $z$ là $3 x \frac{d}{d z} [z]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $y^{2}$ không đổi đối với $z$ , nên đạo hàm của $y^{2} z^{3}$ đối với $z$ là $y^{2} \frac{d}{d z} [z^{3}]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + y^{2} \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + y^{2} (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [11])$

Bước 4.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + 3 y^{2} z^{2} + \frac{d}{d z} [11])$

Bước 5

Vì $11$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $11$ đối với $z$ là $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + 3 y^{2} z^{2} + 0)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Cộng $0$ và $3 x$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x + 3 y^{2} z^{2} + 0)$

Bước 6.1.2

Cộng $3 x + 3 y^{2} z^{2}$ và $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x + 3 y^{2} z^{2})$

Bước 6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 y^{2} z^{2} + 3 x)$