Giải tích Ví dụ

${(8 z + e^{- z^{2}})}^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ là $f' (g (z)) g' (z)$ trong đó $f (z) = z^{4}$ và $g (z) = 8 z + e^{- z^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $8 z + e^{- z^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d z} [8 z + e^{- z^{2}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d z} [8 z + e^{- z^{2}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $8 z + e^{- z^{2}}$ .

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} \frac{d}{d z} [8 z + e^{- z^{2}}]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 z + e^{- z^{2}}$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [8 z] + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}]$ .

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (\frac{d}{d z} [8 z] + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d z} [8 z]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $8$ không đổi đối với $z$ , nên đạo hàm của $8 z$ đối với $z$ là $8 \frac{d}{d z} [z]$ .

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

Bước 3.3

Nhân $8$ với $1$ .

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ là $f' (g (z)) g' (z)$ trong đó $f (z) = e^{z}$ và $g (z) = - z^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- z^{2}$ .

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 + e^{u_{2}} \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- z^{2}$ .

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 + e^{- z^{2}} \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Bước 4.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $z$ , nên đạo hàm của $- z^{2}$ đối với $z$ là $- \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 + e^{- z^{2}} (- \frac{d}{d z} [z^{2}]))$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 + e^{- z^{2}} (- (2 z)))$

Bước 4.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (8 + e^{- z^{2}} (- 2 z))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (- 2 e^{- z^{2}} z + 8)$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 e^{- z^{2}} z + 8$ .

$4 {(8 z + e^{- z^{2}})}^{3} (- 2 z e^{- z^{2}} + 8)$