Giải tích Ví dụ

$y = \tan (\sqrt{5 t})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \tan (t)$ và $g (t) = \sqrt{5 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sqrt{5 t}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{5 t}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [\sqrt{5 t}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sqrt{5 t}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{d}{d t} [\sqrt{5 t}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5 t}$ ở dạng ${(5 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{d}{d t} [{(5 t)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 t$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{d}{d t} [{(5 (t))}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 (t)$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Vì $5^{\frac{1}{2}}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 9

Kết hợp $5^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{5^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 10

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\sec^{2} (\sqrt{5 t})$ và $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (\sqrt{5 t})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$