Giải tích Ví dụ

$u = \sqrt[7]{t^{2}} + 2 \sqrt{t^{5}}$

Bước 1

Không thể hoàn thành đạo hàm này bằng quy tắc chuỗi. Mathway sẽ sử dụng một phương pháp khác.

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt[7]{t^{2}} + 2 \sqrt{t^{5}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [\sqrt[7]{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[7]{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [\sqrt[7]{t^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[7]{t^{2}}$ ở dạng $t^{\frac{2}{7}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{2}{7}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{2}{7} - 1} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{2}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{2}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{7} t^{\frac{2 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $- 1$ với $7$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{2 - 7}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 3.6.2

Trừ $7$ khỏi $2$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{- 5}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t^{5}}$ ở dạng $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{5}{2}}]$

Bước 4.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t^{\frac{5}{2}}$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1})$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 2}{2}})$

Bước 4.7.2

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{3}{2}})$

Bước 4.8

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 4.9

Kết hợp $2$ và $\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{2 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Bước 4.10

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{10 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 4.11

Đưa $2$ ra ngoài $10 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{2 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Bước 4.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{2 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Bước 4.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{2 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Bước 4.12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{1}$

Bước 4.12.4

Chia $5 t^{\frac{3}{2}}$ cho $1$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 5 t^{\frac{3}{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{t^{\frac{5}{7}}} + 5 t^{\frac{3}{2}}$

Bước 5.2

Nhân $\frac{2}{7}$ với $\frac{1}{t^{\frac{5}{7}}}$ .

$\frac{2}{7 t^{\frac{5}{7}}} + 5 t^{\frac{3}{2}}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$5 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7 t^{\frac{5}{7}}}$