Giải tích Ví dụ

$t^{3} \log_{2} (e^{t})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t^{3}$ và $g (t) = \log_{2} (e^{t})$ .

$t^{3} \frac{d}{d t} [\log_{2} (e^{t})] + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \log_{2} (t)$ và $g (t) = e^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $e^{t}$ .

$t^{3} (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\log_{2} (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$t^{3} (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{t}$ .

$t^{3} (\frac{1}{e^{t} \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 3

Kết hợp $\frac{1}{e^{t} \ln (2)}$ và $t^{3}$ .

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}] + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ là $a^{t} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)} e^{t} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)}$ và $e^{t}$ .

$\frac{t^{3} e^{t}}{e^{t} \ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t^{3} e^{t}}{e^{t} \ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) (3 t^{2})$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + 3 t^{2} \log_{2} (e^{t})$