Giải tích Ví dụ

$y = \sec^{-1} (2 s^{3} + 4)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ là $f' (g (s)) g' (s)$ trong đó $f (s) = \sec^{-1} (s)$ và $g (s) = 2 s^{3} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 s^{3} + 4$ .

$\frac{d}{d u} [\sec^{-1} (u)] \frac{d}{d s} [2 s^{3} + 4]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\sec^{-1} (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d s} [2 s^{3} + 4]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 s^{3} + 4$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} \frac{d}{d s} [2 s^{3} + 4]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 s^{3} + 4$ đối với $s$ là $\frac{d}{d s} [2 s^{3}] + \frac{d}{d s} [4]$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d s} [2 s^{3}] + \frac{d}{d s} [4])$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d s} [2 s^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $s$ , nên đạo hàm của $2 s^{3}$ đối với $s$ là $2 \frac{d}{d s} [s^{3}]$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (2 \frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [4])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ là $n s^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (2 (3 s^{2}) + \frac{d}{d s} [4])$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (6 s^{2} + \frac{d}{d s} [4])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $4$ là hằng số đối với $s$ , đạo hàm của $4$ đối với $s$ là $0$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (6 s^{2} + 0)$

Bước 4.2

Cộng $6 s^{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (6 s^{2})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{6}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} s^{2}$

Bước 5.1.2

Kết hợp $\frac{6}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$ và $s^{2}$ .

$\frac{6 s^{2}}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$

Bước 5.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2 s^{3} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 s^{2}$ .

$\frac{2 (3 s^{2})}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$

Bước 5.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}$ .

$\frac{2 (3 s^{2})}{2 ((s^{3} + 2) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1})}$

Bước 5.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 s^{2})}{2 ((s^{3} + 2) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1})}$

Bước 5.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 s^{2}}{(s^{3} + 2) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3 s^{2}}{\sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1} (s^{3} + 2)}$