Giải tích Ví dụ

$\frac{d}{d x} (\frac{a x - 2}{x^{3} - a})$

Bước 1

Không thể hoàn thành đạo hàm này bằng quy tắc chuỗi. Mathway sẽ sử dụng một phương pháp khác.

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [\frac{f (a)}{g (a)}]$ là $\frac{g (a) \frac{d}{d a} [f (a)] - f (a) \frac{d}{d a} [g (a)]}{{g (a)}^{2}}$ trong đó $f (a) = a x - 2$ và $g (a) = x^{3} - a$ .

$\frac{(x^{3} - a) \frac{d}{d a} [a x - 2] - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a x - 2$ đối với $a$ là $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]$ .

$\frac{(x^{3} - a) (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $x$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $a x$ đối với $a$ là $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ là $n a^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 3.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 3.5

Vì $- 2$ là hằng số đối với $a$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $a$ là $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x + 0) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 3.6

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - a$ đối với $a$ là $\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 3.8

Vì $x^{3}$ là hằng số đối với $a$ , đạo hàm của $x^{3}$ đối với $a$ là $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (0 + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 3.9

Cộng $0$ và $\frac{d}{d a} [- a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [- a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 3.10

Vì $- 1$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $- a$ đối với $a$ là $- \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (- \frac{d}{d a} [a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 3.11

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + 1 (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 3.11.2

Nhân $a x - 2$ với $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 3.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ là $n a^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \cdot 1}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 3.13

Nhân $a x - 2$ với $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{3} x - a x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{3} x - a x + a x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Cộng $- a x$ và $a x$ .

$\frac{x^{3} x + 0 - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 4.2.1.2

Cộng $x^{3} x$ và $0$ .

$\frac{x^{3} x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{3} x^{1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 4.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{3 + 1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Bước 4.2.2.2

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{x^{4} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$