Giải tích Ví dụ

$y = \frac{4}{9} x^{2}$ , $y = \frac{13}{9} - x^{2}$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Bước 1.2

Giải $\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn $\frac{4}{9} x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Viết lại.

$0 + 0 + \frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Bước 1.2.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Bước 1.2.1.3

Kết hợp $\frac{4}{9}$ và $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Bước 1.2.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Cộng $x^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} = \frac{13}{9}$

Bước 1.2.2.2

Để viết $x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} \cdot \frac{9}{9} = \frac{13}{9}$

Bước 1.2.2.3

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

Bước 1.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

Bước 1.2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.5.1

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 9 \cdot x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

Bước 1.2.2.5.2

Cộng $4 x^{2}$ và $9 x^{2}$ .

$\frac{13 x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

Bước 1.2.3

Vì biểu thức trên mỗi vế của phương trình có mẫu số giống nhau, nên tử số phải bằng nhau.

$13 x^{2} = 13$

Bước 1.2.4

Chia mỗi số hạng trong $13 x^{2} = 13$ cho $13$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $13 x^{2} = 13$ cho $13$ .

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{13}{13}$

Bước 1.2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.3.1

Chia $13$ cho $13$ .

$x^{2} = 1$

Bước 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Bước 1.2.6

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Bước 1.2.7

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Bước 1.2.7.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Bước 1.2.7.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$

Bước 1.3.2

Thế $1$ vào $x$ trong $y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{13}{9} - 1^{2}$

Bước 1.3.2.2

Rút gọn $\frac{13}{9} - 1^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot 1$

Bước 1.3.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = \frac{13}{9} - 1$

Bước 1.3.2.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Bước 1.3.2.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{13}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Bước 1.3.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{13 - 1 \cdot 9}{9}$

Bước 1.3.2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.5.1

Nhân $- 1$ với $9$ .

$y = \frac{13 - 9}{9}$

Bước 1.3.2.2.5.2

Trừ $9$ khỏi $13$ .

$y = \frac{4}{9}$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

Bước 2

Kết hợp $\frac{4}{9}$ và $x^{2}$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{9}$

Bước 3

Sắp xếp lại $\frac{13}{9}$ và $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{13}{9}$

Bước 4

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} d x - \int_{- 1}^{1} \frac{4 x^{2}}{9} d x$

Bước 5

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 1$ và $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} - (\frac{4 x^{2}}{9}) d x$

Bước 5.2

Để viết $- x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9} d x$

Bước 5.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Kết hợp $- x^{2}$ và $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

Bước 5.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

Bước 5.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2} + 13}{9}$

Bước 5.3.4

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 4 x^{2} + 13}{9}$

Bước 5.3.5

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $- 9 x^{2}$ .

$\frac{- 13 x^{2} + 13}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{- 13 x^{2} + 13}{9} d x$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $13$ ra ngoài $- 13 x^{2} + 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Đưa $13$ ra ngoài $- 13 x^{2}$ .

$\frac{13 (- x^{2}) + 13}{9}$

Bước 5.4.1.2

Đưa $13$ ra ngoài $13$ .

$\frac{13 (- x^{2}) + 13 (1)}{9}$

Bước 5.4.1.3

Đưa $13$ ra ngoài $13 (- x^{2}) + 13 (1)$ .

$\frac{13 (- x^{2} + 1)}{9}$

Bước 5.4.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{13 (- x^{2} + 1^{2})}{9}$

Bước 5.4.3

Sắp xếp lại $- x^{2}$ và $1^{2}$ .

$\frac{13 (1^{2} - x^{2})}{9}$

Bước 5.4.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$\frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9} d x$

Bước 5.5

Vì $\frac{13}{9}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{13}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} (1 + x) (1 - x) d x$

Bước 5.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 (1 - x) + x (1 - x) d x$

Bước 5.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) d x$

Bước 5.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) d x$

Bước 5.6.4

Sắp xếp lại $x$ và $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x) d x$

Bước 5.6.5

Sắp xếp lại $x$ và $- 1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x d x$

Bước 5.6.6

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

Bước 5.6.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

Bước 5.6.8

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - 1 x \cdot x d x$

Bước 5.6.9

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x \cdot x) d x$

Bước 5.6.10

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x) d x$

Bước 5.6.11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x^{1}) d x$

Bước 5.6.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{1 + 1} d x$

Bước 5.6.13

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{2} d x$

Bước 5.6.14

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 0 - x^{2} d x$

Bước 5.6.15

Trừ $x^{2}$ khỏi $0$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x$

Bước 5.6.16

Sắp xếp lại $1$ và $- x^{2}$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

Bước 5.7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{13}{9} (\int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 5.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{13}{9} (- \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 5.9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 5.10

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 5.11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Bước 5.12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.12.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

Bước 5.12.2

Tính $x$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Bước 5.12.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.12.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Bước 5.12.3.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

Bước 5.12.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Bước 5.12.3.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

Bước 5.12.3.5

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Bước 5.12.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{13}{9} (- \frac{1 + 1}{3} + 1 + 1)$

Bước 5.12.3.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 1 + 1)$

Bước 5.12.3.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2)$

Bước 5.12.3.9

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})$

Bước 5.12.3.10

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})$

Bước 5.12.3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Bước 5.12.3.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.12.3.12.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 6}{3}$

Bước 5.12.3.12.2

Cộng $- 2$ và $6$ .

$\frac{13}{9} \cdot \frac{4}{3}$

Bước 5.12.3.13

Nhân $\frac{13}{9}$ với $\frac{4}{3}$ .

$\frac{13 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Bước 5.12.3.14

Nhân $13$ với $4$ .

$\frac{52}{9 \cdot 3}$

Bước 5.12.3.15

Nhân $9$ với $3$ .

$\frac{52}{27}$

Bước 6