Giải tích Ví dụ

$r = 13 \cos (θ)$ , $r = 6 + \cos (θ)$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$13 \cos (θ) = 6 + \cos (θ)$

Bước 1.2

Giải $13 \cos (θ) = 6 + \cos (θ)$ để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $\cos (θ)$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Trừ $\cos (θ)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$13 \cos (θ) - \cos (θ) = 6$

Bước 1.2.1.2

Trừ $\cos (θ)$ khỏi $13 \cos (θ)$ .

$12 \cos (θ) = 6$

Bước 1.2.2

Chia mỗi số hạng trong $12 \cos (θ) = 6$ cho $12$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $12 \cos (θ) = 6$ cho $12$ .

$\frac{12 \cos (θ)}{12} = \frac{6}{12}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 \cos (θ)}{12} = \frac{6}{12}$

Bước 1.2.2.2.1.2

Chia $\cos (θ)$ cho $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{12}$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$\cos (θ) = \frac{6 (1)}{12}$

Bước 1.2.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $12$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Bước 1.2.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (θ) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Bước 1.2.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Bước 1.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong cosin.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Bước 1.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Bước 1.2.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Bước 1.2.6

Rút gọn $2 π - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 1.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 1.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 1.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Bước 1.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Bước 1.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 1.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 1.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 1.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 1.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.3

Tính $r$ khi $θ = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $\frac{π}{3} + 2 π n$ bằng $θ$ .

$r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Bước 1.3.2

Thế $\frac{π}{3} + 2 π n$ vào $θ$ trong $r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$ và giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Bước 1.3.2.2

Sắp xếp lại $\frac{π}{3}$ và $2 π n$ .

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3})$

Bước 1.4

Tính $r$ khi $θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ bằng $θ$ .

$r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Bước 1.4.2

Thế $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ vào $θ$ trong $r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$ và giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Bước 1.4.2.2

Sắp xếp lại $\frac{5 π}{3}$ và $2 π n$ .

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3})$

Bước 1.5

Đáp án của hệ phương trình là tất cả các giá trị làm cho hệ phương trình đúng.

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Bước 1.6

Liệt kê tất cả các đáp án.

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Bước 2

Vùng giữa các đường cong đã cho không bị giới hạn.

Vùng không có biên

Bước 3