Giải tích Ví dụ

$y = 8$ , $y = \sqrt{x}$ , $x = 0$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$8 = \sqrt{x}$

Bước 1.2

Giải $8 = \sqrt{x}$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{x} = 8$ .

$\sqrt{x} = 8$

Bước 1.2.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{x}}^{2} = 8^{2}$

Bước 1.2.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8^{2}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Bước 1.2.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Bước 1.2.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = 8^{2}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Rút gọn.

$x = 8^{2}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$x = 64$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $64$ bằng $x$ .

$y = \sqrt{64}$

Bước 1.3.2

Rút gọn $\sqrt{64}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \sqrt{64}$

Bước 1.3.2.2

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$y = \sqrt{8^{2}}$

Bước 1.3.2.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$y = 8$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(64, 8)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{0}^{64} 8 d x - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0$ và $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0$ và $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - (8) d x$

Bước 3.1.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - 8 d x$

Bước 3.1.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Bước 3.1.4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Bước 3.1.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Bước 3.1.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + - 8 x]_{0}^{64}$

Bước 3.1.7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.1

Kết hợp $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$ và $- 8 x]_{0}^{64}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x]_{0}^{64}$

Bước 3.1.7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.2.1

Tính $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ tại $64$ và tại $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64) - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.2.2.1

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.4

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 512 - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $512$ .

$\frac{2 \cdot 512}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.6

Nhân $2$ với $512$ .

$\frac{1024}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.7

Nhân $- 8$ với $64$ .

$\frac{1024}{3} - 512 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.8

Để viết $- 512$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} - 512 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.9

Kết hợp $- 512$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} + \frac{- 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1024 - 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.2.2.11.1

Nhân $- 512$ với $3$ .

$\frac{1024 - 1536}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.11.2

Trừ $1536$ khỏi $1024$ .

$\frac{- 512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.13

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.14

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.15

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.2.2.15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.15.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.16

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0 - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.17

Nhân $\frac{2}{3}$ với $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 - 8 \cdot 0)$

Bước 3.1.7.2.2.18

Nhân $- 8$ với $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 + 0)$

Bước 3.1.7.2.2.19

Cộng $0$ và $0$ .

$- \frac{512}{3} - 0$

Bước 3.1.7.2.2.20

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- \frac{512}{3} + 0$

Bước 3.1.7.2.2.21

Cộng $- \frac{512}{3}$ và $0$ .

$- \frac{512}{3}$

Bước 3.2

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0}^{64} 8 - (\sqrt{x}) d x$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $\sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{64} 8 - \sqrt{x} d x$

Bước 3.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{64} 8 d x + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Bước 3.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$8 x]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Bước 3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Bước 3.7

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 3.8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64})$

Bước 3.9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Bước 3.9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.1

Tính $8 x$ tại $64$ và tại $0$ .

$(8 \cdot 64) - 8 \cdot 0 - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Bước 3.9.2.2

Tính $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $64$ và tại $0$ .

$8 \cdot 64 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 3.9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.1

Nhân $8$ với $64$ .

$512 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 3.9.2.3.2

Nhân $- 8$ với $0$ .

$512 + 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 3.9.2.3.3

Cộng $512$ và $0$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 3.9.2.3.4

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 3.9.2.3.5

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 3.9.2.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 3.9.2.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 3.9.2.3.7

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 3.9.2.3.8

Nhân $2$ với $512$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 3.9.2.3.9

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 3.9.2.3.10

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Bước 3.9.2.3.11

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Bước 3.9.2.3.11.2

Viết lại biểu thức.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Bước 3.9.2.3.12

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Bước 3.9.2.3.13

Nhân $2$ với $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{3})$

Bước 3.9.2.3.14

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.14.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Bước 3.9.2.3.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.14.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 3.9.2.3.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 3.9.2.3.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{1})$

Bước 3.9.2.3.14.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - 0)$

Bước 3.9.2.3.15

Nhân $- 1$ với $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} + 0)$

Bước 3.9.2.3.16

Cộng $\frac{1024}{3}$ và $0$ .

$512 - \frac{1024}{3}$

Bước 3.9.2.3.17

Để viết $512$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$512 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1024}{3}$

Bước 3.9.2.3.18

Kết hợp $512$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3}$

Bước 3.9.2.3.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{512 \cdot 3 - 1024}{3}$

Bước 3.9.2.3.20

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.3.20.1

Nhân $512$ với $3$ .

$\frac{1536 - 1024}{3}$

Bước 3.9.2.3.20.2

Trừ $1024$ khỏi $1536$ .

$\frac{512}{3}$

Bước 4