Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ , $x = 0$

Bước 1

Xét hàm số đã sử dụng để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Bước 2

Thay giá trị của $a = 0$ vào hàm số tuyến tính hóa.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Bước 3

Tính $f (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Bước 3.2

Rút gọn $\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Bước 3.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Cộng $0$ và $1$ .

$\sqrt{1} + \sin (0)$

Bước 3.2.2.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$1 + \sin (0)$

Bước 3.2.2.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 3.2.3

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4

Tìm đạo hàm và tính giá trị của nó tại $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm của $f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{x + 1} + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 1}$ ở dạng ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.11

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.13

Nhân $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ với $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.14

Di chuyển ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (x)$

Bước 4.2

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$\frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Bước 4.3.1.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2 \cdot 1} + \cos (0)$

Bước 4.3.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2} + \cos (0)$

Bước 4.3.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{2} + 1$

Bước 4.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Bước 4.3.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + 2}{2}$

Bước 4.3.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{3}{2}$

Bước 5

Thay các thành phần vào hàm tuyến tính hóa để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} (x - 0)$

Bước 6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Trừ $0$ khỏi $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} x$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3 x}{2}$

Bước 7