Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ , $[0, 2]$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$

Bước 1.2

Giải $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Di chuyển $\frac{e^{- x}}{2}$ sang vế phải của phương trình bằng cách trừ nó từ cả hai vế.

$\frac{e^{x}}{2} = - \frac{e^{- x}}{2}$

Bước 1.2.2

Vì biểu thức trên mỗi vế của phương trình có mẫu số giống nhau, nên tử số phải bằng nhau.

$e^{x} = - e^{- x}$

Bước 1.2.3

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

Không có đáp án

Bước 2

Rút gọn $\frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Bước 2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Bước 3

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Bước 4

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - (0) d x$

Bước 4.2

Trừ $0$ khỏi $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x$

Bước 4.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Bước 4.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{x} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Bước 4.5

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Bước 4.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Bước 4.7

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.7.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 4.7.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 4.7.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Bước 4.7.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.7.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Bước 4.7.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Bước 4.7.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Bước 4.7.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Bước 4.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Bước 4.9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

Bước 4.10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{u}]_{0}^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Bước 4.11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Tính $e^{x}$ tại $2$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Bước 4.11.2

Tính $e^{u}$ tại $- 2$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Bước 4.11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.3.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Bước 4.11.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Bước 4.11.3.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1 \cdot 1}{2}$

Bước 4.11.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Bước 4.11.3.5

Để viết $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Bước 4.11.3.6

Kết hợp $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Bước 4.11.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Bước 4.11.3.8

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Bước 4.11.3.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.3.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Bước 4.11.3.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Bước 4.11.3.10

Nhân $e^{2} - 1$ với $1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Bước 5

Cộng các diện tích $\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (\frac{1}{e^{2}} - 1)}{2}$

Bước 5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} - - 1}{2}$

Bước 5.1.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} + 1}{2}$

Bước 5.1.4

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}} + 0}{2}$

Bước 5.1.5

Cộng $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ và $0$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}}}{2}$

Bước 5.1.6

Viết lại $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.6.1

Viết lại $\frac{1}{e^{2}}$ ở dạng ${(\frac{1}{e})}^{2}$ .

$\frac{e^{2} - {(\frac{1}{e})}^{2}}{2}$

Bước 5.1.6.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e$ và $b = \frac{1}{e}$ .

$\frac{(e + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Bước 5.1.7

Để viết $e$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Bước 5.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{e e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Bước 5.1.9

Nhân $e e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.9.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Bước 5.1.9.2

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Bước 5.1.9.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Bước 5.1.9.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Bước 5.1.10

Để viết $e$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{e e}{e} - \frac{1}{e})}{2}$

Bước 5.1.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e e - 1}{e}}{2}$

Bước 5.1.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.12.1

Nhân $e e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.12.1.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e - 1}{e}}{2}$

Bước 5.1.12.1.2

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{2}$

Bước 5.1.12.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{2}$

Bước 5.1.12.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1}{e}}{2}$

Bước 5.1.12.2

Viết lại $e^{2} - 1$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.12.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{2}$

Bước 5.1.12.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e$ và $b = 1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{2}$

Bước 5.2

Nhân $\frac{e^{2} + 1}{e}$ với $\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) ((e + 1) (e - 1))}{e e}}{2}$

Bước 5.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e}}{2}$

Bước 5.3.2

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e^{1}}}{2}$

Bước 5.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1 + 1}}}{2}$

Bước 5.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}}{2}$

Bước 5.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 5.5

Kết hợp.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

Bước 5.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Nhân $e^{2} + 1$ với $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2} \cdot 2}$

Bước 5.6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{2 e^{2}}$

Bước 6