Giải tích Ví dụ

$y = 3 \sin (π x + y)$ , $(1, 0)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = 0$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin (π x + y))$

Bước 1.2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 1.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \sin (π x + y)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = π x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $π x + y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x + y])$

Bước 1.3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $π x + y$ .

$3 (\cos (π x + y) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $π x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \cos (π x + y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 1.3.3.2

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cos (π x + y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 1.3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cos (π x + y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 1.3.3.4

Nhân $π$ với $1$ .

$3 \cos (π x + y) (π + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 1.3.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 \cos (π x + y) (π + y')$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 3 \cos (π x + y) (π + y')$

Bước 1.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Rút gọn $3 \cos (π x + y) (π + y')$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = 3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$

Bước 1.5.1.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$ .

$y' = 3 π \cos (π x + y) + 3 y' \cos (π x + y)$

Bước 1.5.2

Trừ $3 y' \cos (π x + y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

Bước 1.5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' - 3 y' \cos (π x + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

Bước 1.5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 3 y' \cos (π x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

Bước 1.5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y))$ .

$y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

Bước 1.5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ cho $1 - 3 \cos (π x + y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ cho $1 - 3 \cos (π x + y)$ .

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - 3 \cos (π x + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Bước 1.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Bước 1.7

Tính giá trị tại $x = 1$ và $y = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$\frac{3 π \cos (π (1) + y)}{1 - 3 \cos (π (1) + y)}$

Bước 1.7.2

Thay thế biến $y$ bằng $0$ trong biểu thức.

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

Bước 1.7.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

Bước 1.7.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.1

Nhân $π$ với $1$ .

$\frac{3 π \cos (π + 0)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Bước 1.7.4.2

Cộng $π$ và $0$ .

$\frac{3 π \cos (π)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Bước 1.7.4.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{3 π (- \cos (0))}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Bước 1.7.4.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{3 π (- 1 \cdot 1)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Bước 1.7.4.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3 π \cdot - 1}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Bước 1.7.4.6

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Bước 1.7.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.5.1

Nhân $π$ với $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π + 0)}$

Bước 1.7.5.2

Cộng $π$ và $0$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π)}$

Bước 1.7.5.3

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- \cos (0))}$

Bước 1.7.5.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- 1 \cdot 1)}$

Bước 1.7.5.5

Nhân $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.5.5.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cdot - 1}$

Bước 1.7.5.5.2

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3}$

Bước 1.7.5.6

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{- 3 π}{4}$

Bước 1.7.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 π}{4}$

Bước 2

Pháp tuyến là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến. Lấy nghịch đảo âm của hệ số góc của tiếp tuyến để tìm hệ số góc của pháp tuyến.

$\frac{4}{3 π}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{4}{3 π}$ và một điểm đã cho $(1, 0)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{4}{3 π} \cdot (x - (1))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 0 = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Cộng $y$ và $0$ .

$y = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

Bước 3.3.2

Rút gọn $\frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{4}{3 π} x + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

Bước 3.3.2.2

Kết hợp $\frac{4}{3 π}$ và $x$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

Bước 3.3.2.3

Nhân $\frac{4}{3 π} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.3.1

Kết hợp $\frac{4}{3 π}$ và $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4 \cdot - 1}{3 π}$

Bước 3.3.2.3.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{- 4}{3 π}$

Bước 3.3.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{4 x}{3 π} - \frac{4}{3 π}$

Bước 3.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{4}{3 π} x - \frac{4}{3 π}$

Bước 4