Giải tích Ví dụ

$6 x y + π \sin (y) = 83 π$ , $(4, \frac{7 π}{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 4$ và $y = \frac{7 π}{2}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (6 x y + π \sin (y)) = \frac{d}{d x} (83 π)$

Bước 1.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x y + π \sin (y)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Bước 1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x y$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Bước 1.2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Bước 1.2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Bước 1.2.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Bước 1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π \sin (y)$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$6 (x y' + y) + π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 1.2.3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Bước 1.2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Bước 1.2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$6 (x y' + y) + π \cos (y) y'$

Bước 1.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (x y') + 6 y + π \cos (y) y'$

Bước 1.2.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$

Bước 1.3

Vì $83 π$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $83 π$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y = 0$

Bước 1.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$ .

$6 x y' + π y' \cos (y) + 6 y = 0$

Bước 1.5.2

Trừ $6 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$6 x y' + π y' \cos (y) = - 6 y$

Bước 1.5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $6 x y' + π y' \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $6 x y'$ .

$y' (6 x) + π y' \cos (y) = - 6 y$

Bước 1.5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $π y' \cos (y)$ .

$y' (6 x) + y' (π \cos (y)) = - 6 y$

Bước 1.5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (6 x) + y' (π \cos (y))$ .

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$

Bước 1.5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ cho $6 x + π \cos (y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ cho $6 x + π \cos (y)$ .

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6 x + π \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Bước 1.5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Bước 1.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Bước 1.7

Tính giá trị tại $x = 4$ và $y = \frac{7 π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$- \frac{6 y}{6 (4) + π \cos (y)}$

Bước 1.7.2

Thay thế biến $y$ bằng $\frac{7 π}{2}$ trong biểu thức.

$- \frac{6 (\frac{7 π}{2})}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Bước 1.7.3

Kết hợp $6$ và $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Bước 1.7.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.1

Nhân $6$ với $4$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Bước 1.7.4.2

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{3 π}{2})}$

Bước 1.7.4.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{π}{2})}$

Bước 1.7.4.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cdot 0}$

Bước 1.7.4.5

Nhân $π$ với $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + 0}$

Bước 1.7.4.6

Cộng $24$ và $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24}$

Bước 1.7.5

Nhân $6$ với $7$ .

$- \frac{\frac{42 π}{2}}{24}$

Bước 1.7.6

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.6.1

Rút gọn biểu thức $\frac{42 π}{2}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.6.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $42 π$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2}}{24}$

Bước 1.7.6.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 (1)}}{24}$

Bước 1.7.6.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 \cdot 1}}{24}$

Bước 1.7.6.1.4

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\frac{21 π}{1}}{24}$

Bước 1.7.6.2

Chia $21 π$ cho $1$ .

$- \frac{21 π}{24}$

Bước 1.7.7

Triệt tiêu thừa số chung của $21$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $21 π$ .

$- \frac{3 (7 π)}{24}$

Bước 1.7.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $24$ .

$- \frac{3 (7 π)}{3 (8)}$

Bước 1.7.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3 (7 π)}{3 \cdot 8}$

Bước 1.7.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{7 π}{8}$

Bước 2

Pháp tuyến là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến. Lấy nghịch đảo âm của hệ số góc của tiếp tuyến để tìm hệ số góc của pháp tuyến.

$\frac{8}{7 π}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{8}{7 π}$ và một điểm đã cho $(4, \frac{7 π}{2})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7 π}{2}) = \frac{8}{7 π} \cdot (x - (4))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $\frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{7 π}{2} = 0 + 0 + \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} x + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

Bước 3.3.1.4

Kết hợp $\frac{8}{7 π}$ và $x$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

Bước 3.3.1.5

Nhân $\frac{8}{7 π} \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Kết hợp $\frac{8}{7 π}$ và $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8 \cdot - 4}{7 π}$

Bước 3.3.1.5.2

Nhân $8$ với $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32}{7 π}$

Bước 3.3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π}$

Bước 3.3.2

Cộng $\frac{7 π}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} + \frac{7 π}{2}$

Bước 3.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để viết $- \frac{32}{7 π}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2}$

Bước 3.3.3.2

Để viết $\frac{7 π}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Bước 3.3.3.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $14 π$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.3.1

Nhân $\frac{32}{7 π}$ với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{7 π \cdot 2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Bước 3.3.3.3.2

Nhân $2$ với $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Bước 3.3.3.3.3

Nhân $\frac{7 π}{2}$ với $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{2 (7 π)}$

Bước 3.3.3.3.4

Nhân $7$ với $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{14 π}$

Bước 3.3.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32 \cdot 2 + 7 π (7 π)}{14 π}$

Bước 3.3.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.5.1

Nhân $- 32$ với $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 7 π \cdot 7 π}{14 π}$

Bước 3.3.3.5.2

Nhân $7$ với $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π π}{14 π}$

Bước 3.3.3.5.3

Nhân $49 π π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.5.3.1

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π)}{14 π}$

Bước 3.3.3.5.3.2

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π^{1})}{14 π}$

Bước 3.3.3.5.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{1 + 1}}{14 π}$

Bước 3.3.3.5.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{2}}{14 π}$

Bước 3.3.3.5.4

Viết lại $- 64 + 49 π^{2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.5.4.1

Viết lại $49 π^{2}$ ở dạng ${(7 π)}^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

Bước 3.3.3.5.4.2

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 8^{2} + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

Bước 3.3.3.5.4.3

Sắp xếp lại $- 8^{2}$ và ${(7 π)}^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{{(7 π)}^{2} - 8^{2}}{14 π}$

Bước 3.3.3.5.4.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 7 π$ và $b = 8$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

Bước 3.3.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{8}{7 π} x + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

Bước 4